■ а ж lj^ii \jv ж \smjei ■_>
У своїй найбільш загальній формі теорія бифуркаций являє собою теорію рівноважних рішень нелінійних рівнянь. Під рівноважними рішеннями розуміються, наприклад, стаціонарні рішення, рішення періодичні за часом і квазіперіодичні рішення. Мета цієї книги - навчити читачів теорії бифуркаций рівноважних рішень еволюційних завдань, що описуються нелінійними диференціальними рівняннями. Ми написали її для найширшої аудиторії зацікавлених осіб: інженерів, біологів, хіміків, фізиків, математиків, економістів і всіх, хто зустрічається у своїй роботі з рівноважними рішеннями нелінійних диференціальних рівнянь.
Ми вважаємо, що для досягнення нашої мети потрібно зробити виклад, по-перше, досить загальним-з тим, щоб його можна було застосувати до величезного розмаїття задач, що виникають в науці і техніці, і, по-друге, досить простим, щоб воно було зрозуміло читачам, математична підготовка яких не виходить за рамки класичного аналізу, поширеного в минулому столітті.
Природно, повної гармонії між спільнотою і простотою досягти не можна, але, насправді, загальна теорія простіше, ніж деталізована, потрібна для конкретних програм. У загальній теорії від конкретних завдань беруться лише істотні властивості і будується основа, на яку повинні спиратися деталі додатків.
Прийнято вважати, що для оволодіння математичної теорії бифуркаций необхідно знання основ функціонального аналізу і деяких методів топології і динаміки. Це переконання безсумнівно справедливо, але його корисно розшифрувати, щоб обґрунтувати прийнятий у книзі підхід.
Використання функціонального аналізу в задачах біфуркації головним чином пов'язано з обґрунтуванням можливості відомості завдань високою і навіть нескінченної розмірності до одновимірним або двовимірним завдань. Такі завдання низької розмірності пов'язані з проекціями на простір власних функцій, а в окремих випадках (подібних тим, які виникають у вироджених завданнях, які призводять до руйнування симетрії біфуркації стаціонарних рішень) потрібен аналіз завдань з розмірністю більше двох. Однак найбільш.
