Прийоми варіювання геометричних задач

Варіювання неістотних ознак поняття за умови інваріантності істотних. Геометричні задачі, які розв’язуються на основі деяких теорем. Добуток двох додатних множників, сума яких стала. Властивості рівних відношень та й змінні пропорційні показники.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Прийоми варіювання геометричних задач

1. Принцип варіативності

Важливою умовою формування в учнів правильних узагальнень психологи вважають варіювання неістотних ознак поняття за умови інваріантності істотних. Варіювання у побудові системи вправ реалізується таким чином: якщо в означенні того чи іншого поняття є істотною певна ознака, необхідно, щоб ця ознака у вправах, пропонованих учням, фігурувала у якості істотної, інші ж, неістотні ознаки, мають широко варіюватись. Варіювання форми подання умови сприяє фіксації в пам'яті учнів того чи іншого прийому розв'язування задач.

При цьому варіювання умови геометричних вправ стосується неістотних її сторін, що безпосередньо не впливають на застосування прийому розв'язування, а саме, числових даних, буквених позначень, розміщення фігур тощо. Такі вправи називають однотипними, а їх систему - однотипною. Забезпечити розв'язання потрібної кількості однотипних геометричних вправ можливо завдяки вправам за готовими малюнками. Корисно також пропонувати учням на різних рівнях вправи певного типу, що мають однакову логічну структуру, але різну форму презентації умови. Форму подання умови вправ можна варіювати шляхом введення додаткових елементів, збільшення кількості числових даних. Варіювання видів розумової діяльності засобом системи вправ реалізується шляхом залучення задач на прямі і обернені дії. Метод одночасного розв'язування прямих і обернених задач був запропонований П.М. Ерднієвим. На думку автора такий підхід сприяє швидшому і глибшому засвоєнню навчального матеріалу. Я.Й. Груденов пропонує застосовувати принцип порівняння для того, щоб підкреслити взаємозв'язок, спільне та відмінне в системі задач.

Добираючи систему вправ з геометрії для досягнення певної мети, потрібно передбачати варіацію видів математичного мислення, пропонуючи різні типи вправ: на обчислення, доведення, побудову, дослідження.

2. Геометричні задачі, які розв'язуються на основі деяких теорем

Теорема 1. Добуток двох додатних множників, сума яких стала, має найбільше значення при рівності множників (якщо множники можуть приймати однакові значення)

Доведення: 1. Нехай х + у = 2а. При х₁ = у₁ = а добуток х₁ у₁ = а².

Покажемо, що добуток х₂у₂, де х = а, у₂ = а, менше а².

Нехай х₂ = а + в, тоді у₂ = а - в; х₂у₂ = а² - в². Отже х₂у₂ < x₁y_1.

2. Розглянемо тотожність ху = [(x + y)² - (x - y)²].

При х + у = const добуток (ху) має найбільше значення при

найменшому значенні (х - у)², тобто х - у = 0 при х = у

3. Геометричне доведення:

Побудуємо на АВ = 2а = х + у півколо, як на діаметрі

При ОС = х₁ = у₁ = а маємо: ОС² = АО ВО = а²

При х = у, нехай х₂ = АD, тоді у₂ = DB

х² у² = АD DB = DF², DF < OC,

тому що DF - пів хорда, а ОС - радіус.

Узагальнимо теорему: Добуток двох множників х і у, пов'язаних відношенням

mx + ny = 2a, де m i n - додатні числа, буде найбільшим

при mx = ny = a, тобто при х = і у = .

При ху, що має найбільше значення, найбільше значення

має і mnxy, а так як mx + ny постійне, то mx = ny = a.

Задача 1

Плоска фігура складається з прямокутника і рівностороннього трикутника. Визначити її розміри так, щоб при даному периметр площа була найбільшою (в рахунок периметра не входить спільна сторона прямокутника і трикутника).

Розв'язання

1. х - сторона трикутника;

2. у - сторона прямокутника;

3. Периметр Р = 3х + 2у; = > у = ;

4. Площа: S_n = х у - прямокутника

S_т= - площа рівностороннього трикутника

5. S = ху + х²

S = х + х²== [2 р - х (6 -)];

Значення х², при якому площа S буде найбільшою

визначають з рівняння:

(6 - ) х = 2 р - (6 - ) х

2х (6 - ) = 2 р

у = = = = , де = х

Відповідь: При розмірах х = ; у = площа буде найбільшою при заданому периметру

Теорема 2

Сума двох додатних чисел, добуток яких сталий, має найменше значення при рівності доданків.

Доведення: 1). Дано: ху = а². Довести х + у 2a

При х у, сума х + у > 2a. Нехай х = а + в, тоді у = ; у > a - в.

Тоді х + у 2a. При х = у одержимо х + у = 2а.

2). Розглянемо тотожність: (x + y)² =(x - y)² +4xy

(x + y) має найменше значення при x - y = 0

3). Геометричне доведення:

Нехай xy = a²

Будуємо коло радіуса а.

При x = y будемо мати

x + y = 2a, при x y: ОЕ OF = a²

OE + OF = EF

EF > 2a, бо EF - діаметр,

а 2а - хорда нового кола.

Задача 1

Дано прямокутник ABCD, в якому AB = a, AD = b. Із вершини А провести січну AEF (F - точка перетину січної з продовженням DC) так, щоб сума BE + CF була найменшою.

варіювання інваріантність множник геометричний

Розв'язання

Побудуємо точку E:

Продовжуємо AB на відрізок ВК = а і на АК, як на діаметрі, будуємо півколо до перетину у точці Е з стороною ВС. При а < b точка Е лежить всередині відрізка ВС (АВ = а, АD = в).

При а > b точка Е лежить на продовженні ВС

АВ = ВС то точка Е співпадає з вершиною С.

У квадраті шуканою прямою є діагональ АС.

Нехай ВЕ = x, CF = y, CE = b - x

Розглянемо АВС і FCE: AEB =FEC, як вертикальні, В = 90⁰, С = 90⁰. Отже, АВЕ FCE (за гострими кутом - ознака подібності прямокутних трикутників).

Із подібності ABE i FCE випливає пропорційність сторін

== або = або = => y = = - a

x + y = x + - a

Сума (x + y) буде найменшою, якщо x = , а добуток x = const;

x² = ab => x =

Теорема 3. Якщо сума декількох додатніх змінних Х, У, Z стала і дорівнює а, то добуток X^p, У^q, Z^r, де p, q, r - дані додатні числа, має найбільше значення у тому випадку, коли змінні пропорційні своїм показникам, тобто коли = = , якщо Х, У, Z можуть задовольнятися цим умовам.

Доведення:

Нехай p, q, r - дані цілі числа. При цих значеннях Х, У, Z, при яких добуток Х^p, У^q, Z^r досягає найбільшого значення, найбільшим буде і ()^р()^q ()^r

Добуток цей складається із p + q + r множників, сума яких стала і дорівнює а, так як

+ +… + = p = Х

 + +… + = q = У

+ +… + = r = Z

Маємо = = = (на основі добутку декількох достатніх

змінних множників, сума яких стала, досягає найбільшого значення при рівності множників, якщо можна множники зробити рівними)

На основі властивостей рівних відношень маємо:

= = = =

X = ; Y = ; Z = .

Нехай показники p, r, q - числа дробові. Після зведення до спільного знаменника, одержимо

p = ; q = ; r = .

Шуканий добуток Х У Z досягає найбільшого значення при найбільших величинах Х, У, Z, а цей вираз має найбільше значення при

= = або = = => = =

Задача 1.

Який із всіх рівнобедрених трикутників, вписаних у дане півколо так, щоб одна із рівних сторін лежала на діаметрі, а друга була б хордою, має найбільшу основу?

Нехай шуканий трикутник є АВС (АВ = АС = Х,

ВС = У). Проводимо ВD АС. Знайдемо, що

y² = 2х² - 2х АD, але АD =

y² = 2х² - 2х = 2х² - =

Сума (х² + 2R - x) - стала; добуток (х² (2...