Дослідження проблеми комплексних чисел

Систематичний виклад питання рішення задач із комплексними числами. Приклади рішення задач із комплексними числами в алгебраїчній формі, задач з геометричною інтерпретацією комплексних чисел. Дії над комплексними числами в тригонометричній формі.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

112

1

Дипломна робота

Дослідження проблеми комплексних чисел

Зміст

1. Введення

2. Комплексні числа (вибрані задачі)

2.1. Комплексні числа в алгебраїчній формі

2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел

2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел

2.4. Додаток теорії комплексних чисел до рішення рівнянь 3-й і 4-й ступеня

2.5. Комплексні числа й параметри

3. Висновок

4. Список літератури

1. Введення

У програмі математики шкільного курсу теорія чисел уводиться на прикладах множин натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто на множині дійсних чисел, зображення яких заповнюють всю числову вісь. Але вже в 8 класі запасу дійсних чисел не вистачає, вирішуючи квадратні рівняння при негативному дискримінанті. Тому було необхідно поповнити запас дійсних чисел за допомогою комплексних чисел, для яких квадратний корінь із негативного числа має сенс.

Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, полягає в тім, що поняття комплексного числа розширює знання учнів про числові системи, про рішення широкого класу задач як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про рішення алгебраїчних рівнянь будь-якого ступеня й об рішення задач із параметрами.

У даній дипломній роботі розглянуте рішення 82-х задач.

У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведені рішення задач із комплексними числами в алгебраїчній формі, визначаються операції додавання, вирахування, множення, ділення, операція сполучення для комплексних чисел в алгебраїчній формі, ступінь мнимої одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило добування квадратного кореня з комплексного числа.

У другій частині вирішуються задачі на геометричну інтерпретацію комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексної площини.

У третій частині розглянуті дії над комплексними числами в тригонометричній формі. Використовуються формули: Муавра й добування кореня з комплексного числа.

Четверта частина присвячена рішенню рівнянь 3-й і 4-й ступенів.

При рішенні задач останньої частини «Комплексні числа й параметри» використовуються й закріплюються відомості, наведені в попередніх частинах. Серія задач глави присвячена визначенню сімейств ліній у комплексній площині, заданих рівняннями (нерівностями) з параметром. У частині вправ потрібно вирішити рівняння з параметром (над полем З). Є завдання, де комплексна змінна задовольняє одночасно ряду умов. Особливістю рішення задач цього розділу є відомість багатьох з них до рішення рівнянь (нерівностей, систем) другого ступеня, ірраціональних, тригонометричних з параметром.

Особливістю викладу матеріалу кожної частини є первісне уведення теоретичних основ, а в наслідку практичне їхнє застосування при рішенні задач.

Наприкінці дипломної роботи представлений список використовуваної літератури. У більшості з них досить докладно й доступно викладений теоретичний матеріал, розглянуті рішення деяких задач і дані практичні завдання для самостійного рішення. Особливу увагу хочеться звернути на такі джерела, як:

1. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексні числа і їхні додатки: Навчальний посібник. Матеріал навчального посібника викладений у вигляді лекційних і практичних занять.

2. Шклярський Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом І.М. Вибрані задачі й теореми елементарної математики. Арифметика й алгебра. Книга містить 320 задач, що ставляться до алгебри, арифметиці й теорії чисел. За своїм характером ці задачі значно відрізняються від стандартних шкільних задач.

2. Комплексні числа (вибрані задачі)

2.1 Комплексні числа в алгебраїчній формі

Рішення багатьох задач математики, фізики зводиться до рішення алгебраїчних рівнянь, тобто рівнянь виду

,

де a0 , a1 , ..., an дійсні числа. Тому дослідження алгебраїчних рівнянь є одним з найважливіших питань у математику. Наприклад, дійсних корінь не має квадратне рівняння з негативним дискримінантом. Найпростішим таким рівнянням є рівняння

.

Для того щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити множину дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння

.

Позначимо цей корінь через . Таким чином, по визначенню

, або ,

отже, .

Символ називається мнимою одиницею. З його допомогою й за допомогою пари дійсних чисел і складається вираження виду

.

Отримане вираження назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, так і мниму частини.

Отже, комплексними числами називаються вираження виду

,

де й - дійсні числа, а - деякий символ, що задовольняє умові . Число називається дійсною частиною комплексного числа , а число - його мнимою частиною. Для їхнього позначення використовуються символи

, .

Комплексні числа виду є дійсними числами й, отже, множина комплексних чисел містить у собі множина дійсних чисел.

Комплексні числа виду називаються чисто мнимими. Два комплексних числа виду й називаються рівними, якщо рівні їх дійсні й мнимі частини, тобто якщо виконуються рівності

, .

Алгебраїчний запис комплексних чисел дозволяє робити операції над ними за звичайними правилами алгебри.

Сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число виду

.

Добутком двох комплексних чисел і називається комплексне число виду

.

1. Комутативний закон додавання:

.

2. Асоціативний (сполучний) закон додавання:

.

3. Комутативний закон множення:

.

4. Асоціативний закон множення:

.

5. Дистрибутивний (розподільний) закон множення щодо додавання:

.

6. .

7. .

8. .

9. Будь-якому комплексному числу відповідає протилежне комплексне число таке, що .

10. Усякому комплексному числу відмінному від нуля, відповідає зворотне комплексне число таке, що .

Ступеня мнимої одиниці.

Якщо натуральний показник ступеня m при діленні на 4 дає в остачі r, тобто якщо , де n - натуральне число, то

;

при цьому

Комплексне число називається сполученим комплексному числу , якщо

.

Властивості операції сполучення.

1.

2. Для будь-якого дійсного числа a справедлива рівність

3. Для будь-якого дійсного числа b справедлива рівність

Наслідок з 5.

4. Сума й добуток двох комплексно сполучених чисел є дійсними числами.

Наслідок з 7.

Модулем комплексного числа називається дійсне число виду

.

8. Теорема про сполучений корінь.

Якщо число є коренем рівняння

 (1)

с дійсним коефіцієнтами a0 , a1 , …, an , те число також є коренем рівняння (1).

Добування квадратного кореня з комплексного числа . Нехай

,

де x і y - дійсні числа. Зводячи обидві частини цієї рівності у квадрат, одержуємо

.

Що рівносильне системі

Вирішуючи цю систему, одержуємо:

; .

Таким чином, добування кореня квадратного з комплексного числа здійснюється по формулі

.

У дужках перед мнимою одиницею береться знак плюс, якщо , і знак мінус, якщо .

Задача 1

Знайдіть комплексних корінь рівняння , якщо:

а) ; б) ; в) .

Рішення

а) .

Тому що , те це рівняння можна записати у вигляді або . Звідси, розкладаючи ліву частину на множники, одержуємо , звідки , .

б) .

З огляду на, що , перетворимо це рівняння:

, , , звідки , .

в) .

Перетворимо , , , звідки , .

Відповідь: а) ; б) ; в) .

Задача 2

Знайдіть x і y, для яких .

Рішення

Одержимо й вирішимо систему двох рівнянь:

Відповідь: .

Задача 3

Вирішите рівняння щодо дійсних змінних x і y.

Рішення

Ліву частину рівняння можна розглядати, як деяке невідоме компл...