Векторные поля

Изучение теории поля с помощью векторного анализа. Векторные поля на плоскости и векторные линии. Вращение, вычисление и свойства дивергенции. Свойство аддитивности циркуляции полей. Ротор и его основные свойства. Рассмотрение формул Грина и Стокса.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Курсовая работа

Тема: Векторные поля

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Векторные линии

2. Векторные поля на плоскости. Векторные линии

3. Вращение векторного поля

4. Дивергенция векторного поля

5. Циркуляция

6. Ротор и его основные свойства

7. Формулы Грина

8. Формулы Стокса

Заключение

Литература

Введение

Векторный анализ - это раздел векторного исчисления, в котором изучается средствами математического анализа векторные и скалярные функции одного или нескольких аргументов (векторные поля и скалярные поля). Для характеристики данных полей вводится целый ряд понятий, часть которых приведены в данной работе: векторные линии, циркуляция, дивергенция.

Поле - область пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение некоторой физической величины. По своему характеру физические величины могут быть скалярными или векторными. Соответственно поля этих величин также являются скалярными или векторными. Так же в данной работе будут приведены формулы британского математика и физика Джорджа Грина и английского физика-теоретика и математика ирландского происхождения Джорджа Габриемля Стокса. Объектом исследования в курсовой работе являются процессы поведения характеристик векторного поля

Цель написания работы состоит в изучении теории поля с помощью векторного анализа, и закрепить полученные знания по высшей математике.

1. Векторные линии

Векторной линией поля А называется линия (L), в каждой точке которой вектор А, отвечающий этой точке, касается (L); другими словами, это -- линия, идущая в каждой своей точке вдоль поля.

В зависимости от физического смысла поля векторная линия может называться линией тока для поля скоростей, силовой линией для силового поля и т. д. (Подумайте, почему линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости только для стационарных потоков.)

Задача о построении векторных линий заданного векторного поля геометрически равносильна задаче о построении интегральных линий для заданного поля направлений (п. XV. 12) Поэтому эта задача сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений; для этого надо ввести в пространство какую-либо систему координат.

Если, например, ввести декартовы координаты х, у, z, то вектор А можно разложить:

А = А (х, у, г) = Ах(х, у, z)i-+-Ay(x, у, г)} + Аг(х, у, г) к. (55)

На основании п. XV. 12 систему дифференциальных уравнений векторных линий поля А можно записать в симметричной форме (ср. ураннения (XV.66)). Для плоских полей (п. IX.9) эта система превращается в уравнение

dx _ dy Ах(х, у)~ A v{x, у)'

В исчислении вектор, векторное поле назначение вектор в каждой точке подмножество евклидова пространства . Векторного поля в плоскости, например, можно изобразить в виде стрелки, с заданной величиной и направлением, прилагаемый к каждой точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорость и направление перемещения жидкости во всем пространстве, или сила и направление некоторых сил, таких как магнитные и гравитационные силы, как она меняется от точки к точке.

Элементы дифференциального и интегрального исчисления распространяются на векторные поля естественным образом. Если векторное поле представляет силу, линейный интеграл от векторного поля представляет работу силы движется по пути, и под эту интерпретацию сохранения энергии проявляется как частный случай основной теоремы исчисления . Векторные поля может полезно рассматривать как представляющий скорость движущегося потока в пространстве, и эта физическая интуиция приводит к понятия, такие как дивергенция (который представляет собой скорость изменения объема потока) и завиток (который представляет вращение потока).

В координатах векторное поле на область в п-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде вектор-функция , которая связывает п-ки действительных чисел в каждой точке области. Такое представление векторного поля зависит от системы координат, и нет четко определенных законом преобразования при переходе от одной системы координат к другой. Векторные поля часто обсуждаются на открытых подмножеств евклидова пространства, но и смысл от других подмножеств, таких как поверхности, где они ассоциируют стрелка касательной к поверхности в каждой точке (касательный вектор).

В целом, векторных полей, определенных на дифференцируемых многообразиях, которые являются пространствами, которые выглядят как евклидова пространства на малых масштабах, но может иметь более сложную структуру, на больших масштабах. В этих условиях векторное поле дает касательный вектор в каждой точке многообразия (то есть раздел о касательное расслоение к многообразию). Векторного поля один вид тензорного поля.

2. Векторные поля на плоскости. Векторные линии

Пусть задано плоское векторное поле A, то есть в каждой точке M плоскости (или некоторой ее части) определен вектор А(М ), также лежащий в этой плоскости. Такое поле проще всего представлять себе как поле скоростей частиц газа или жидкости при стационарном течении в узком слое, но оно может иметь и другой физический смысл (гравитационное поле, электрическое поле и т.д.).

Будем считать, что вектор А(М) непрерывно зависит от точки M, за исключением, быть может, отдельных точек, в которых поле может быть и не определено. Точка М, в которой поле не определено, или теряет непрерывность, или равно нуль-вектору (и тем самым направление поля в ней не определено), называется особой точкой этого поля. Будем считать, что таких точек имеется лишь конечное число.

Векторные линии поля А - это линии, которые в каждой своей точке М идут по направлению поля, то есть касаются вектора А(М ). Для поля скоростей при стационарном течении газа это траектории частиц газа, для силового поля это силовые линии. При некоторых разумных предположениях можно доказать, что через каждую неособую точку проходит ровно одна векторная линия. Направление векторов поля определяет также ориентацию векторных линий, которая обозначается стрелкой.

Вблизи не особой точки М0 векторные линии напоминают слегка искривленную совокупность параллельных, одинаково направленных отрезков (рис. 1). В окрестности особой точки М0 картина векторных линий может быть весьма разнообразной. Так, основные примеры, появляющиеся в гидродинамике, показаны на рис. 2. Из законов движения жидкости вытекает, что в этих примерах | A(M ) | ? при M M0 .

Векторные линии можно найти с помощью решения дифференциального уравнения, введя на плоскости систему координат. Например, если применяются декартовы координаты x, y, то, обозначив координаты точки М через x, y, а проекции вектора A(M ) через P (x, y), Q(x, y), получаем дифференциальное уравнение векторных линий:

В математике обычно плоское векторное поле трактуют как поле скоростей точек на плоскости. Тогда движение этих точек определяется системой дифференциальных уравнений, где точка над буквой означает производную по времени t. Обратно, пусть мы исходим из системы (2,1); такая система, для которой в правые части не входит независимая переменная t, называется автономной. Тогда независимо от смысла величин x, y мы можем трактовать их как координаты точек на плоскости (в этом случае она называется фазовой плоскостью), а решения - как законы движения этих точек; при этом траектории точек являются векторными линиями поля A = (P, Q ). Если функции P и Q непрерывные, то особыми точками поля являются точки (x0 , y0), в которых P(x0 , y0) = Q(x0 , y0) = 0; им отвечают решения вида x(t) = x0 , y(t) = y0 , и поэтому они называются точками покоя для системы (2,1). Наиболее распространенные типы поведения траекторий вблизи точки покоя М0 показаны на рис. 3. Отметим, что траектории на рис. 3, а, отличные от точки покоя M0 (точка покоя тоже траектория), не проходят через нее, а асимптотически приближаются к M0 при t ? или t - ?. То же относится к траекториям на рис. 3, в и к четырем траекториям на рис. 3, б.

3. Вращение векторного поля

Пусть задано плоское векторное поле А и дана ориентированная (то есть указано, в каком направлении она проходится) конечная линия L, не проходящая через особые точки поля. Тогда вращением поля А вдоль линии L называется деленный на 2p угол, на который поворачивается вектор А(М), когда точка M проходит линию L в соответствии с ее ориентацией. При этом поворот против часовой стрелки считается положительным, а по ней - отрицательным. Если же вектор вращается то в одну, то в другую сторону, то соответствующие углы поворота суммируются с их знаками (как если бы речь шла о заводе спиральной пружины). Будем обозначать вращение поля А вдоль линии L через g(L; А) или просто g(L), если ясно, о каком поле идет речь.

(Отметим еще, что общепринятый термин "вращение векторного поля" не совсем удачен: конечно, само поле А не вращается, вращается вектор А(М ), когда точка М движется.)

Приведем некоторые свойства вращения с краткими пояснениями.

1. При изменении ориентации линии L на противоположную значение g(L; А) умножается на -1.

2. Если линия L разбита на несколько частей, ориентированных в соответствии с ориентацией L, то вращение поля вдоль L равно сумме его вращений вдоль всех частей.