Векторные линии в векторном поле

Найти векторные линии в векторном поле. Вычислить длину дуги линии. Вычислить поток векторного поля через поверхность. Найти все значения корня. Представить в алгебраической форме.
Краткое сожержание материала:

Вариант 9

1. Найти векторные линии в векторном поле

Решение:

Векторные линии - это линии, в каждой точке которых вектор поля является касательным

Для нахождения векторных линий поля

решим дифференциальное уравнение:

Имеем

-9xdx=4ydy

Векторные линии представляют собой семейство эллипсов

2. Вычислить длину дуги линии ;

Решение:

Найдем производные

;

Длина дуги кривой в параметрических координатах равна:

3. Вычислить поток векторного поля через поверхность

Решение:

По определениюпотока векторного поля П, имеем

, где - единичный нормальный вектор к поверхности.

Вычислим . Как известно, если уравнение поверхности , то единичный нормальный вектор

Тогда поток векторного поля

Где часть круга радиуса R=1 в плоскости Оху с центром в начале координат, ограниченная условиями

Введем полярные координаты ;

Получим

4. Найти все значения корня

Решение:

Пусть z=1=1+0i

Arg z=0; |z|=1

По формуле корней из комплексного числа, имеем

где k=0,1,2,3

Получим

Ответ: 4 корня - 1;i;-i;-1

5. Представить в алгебраической форме Ln(-1-i)

Решение:

Из определения логарифма комплексного числа Lnz=ln|z|+i argz