Анализ цепи с применением методов переменных состояния, операторного и частотного при апериодическом и периодическом воздействии. Определение амплитудного и фазового спектров входного сигнала. Получение тока на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Содержание

• Часть 1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
• 1.1 Нахождение уравнений состояния цепи для t0
• 1.2 Точное решение уравнений состояния
• 1.3 Решение уравнений состояния численным методом
• 1.4 Точные и численные решения уравнений состояния
• Часть 2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии
• 2.1. Определение функции передачи
• 2.2. Нули и полюсы функции передачи
• 2.3. Переходная и импульсная характеристики
• 2.4. Определение изображения по Лапласу входного импульса
• 2.5. Определение тока на выходе цепи
• 2.6. График переходной и импульсной характеристик, входного и выходного сигналов
• Часть 3. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии
• 3.1 Определение амплитудно-фазовой (АФХ), амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик функции передачи
• 3.2 Определение полосы пропускания цепи по уровню
• 3.3 Определение амплитудного и фазового спектров входного сигнала. Определение ширины спектра входного сигнала по уровню
• 3.4 Предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи
• 3.5 Амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала
• 3.6 Определение выходного сигнала по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина
• Часть 4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии
• 4.1 Разложение в ряд Фурье заданной периодической последовательности импульсов
• 4.2 Получение тока на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье
• 4.3 Ток на входе и выходе цепи, полученные частотным методом
• Заключение
• Литература
• 

Часть 1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Задание

Анализу подлежит цепь, схема которой приведена на рис. 1. Содержание ветвей дано в таблице 1. Параметры ветвей даны в омах, генри, фарадах, всюду R_н= 1 кОм. В анализируемой цепи на рис. 1, j(t)=J=const, e(t)=E₁(t). Здесь ₁(t) - единичная ступенчатая функция(функция включения). Значения E и J даны в таблице 2.

Рис.1. Принципиальная схема электрической цепи для анализа

Таблица 1

Содержание ветвей схемы

№ ветви	1	2	3	4	5	6
Элемент	R=1103	C=110-8	L=110-2	R=5102	R=1103	R=1,66102

Таблица 2.

Значения параметров источников тока и напряжения

Параметр	E, В	J, А
Значение	4	2

Требуется:

1.1 Составить уравнения состояния цепи для t0.

1.2 Найти точные решения уравнений состояния.

1.3 Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов.

1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния.

Решение

1.1 Нахождение уравнений состояния цепи для t0.

В момент t=0 напряжение начинает оказывать воздействие на цепь. Схема электрической цепи для времени t0 с указанными направлениями токов и напряжений изображена на рис. 2.

Рис. 2. Схема электрической цепи для времени t0.

Запишем ЗТК и ЗНК для данной электрической цепи. Для C-элемента пишем ЗТК, так как . Для L-элемента пишем ЗНК, так как .

При этом все остальные переменные необходимо выразить через i_C и u_L. Система ЗТК и ЗНК для данной электрической цепи имеет вид.



(1)

Из уравнения (а) выражаем ток в 4-й ветви и подставляем это выражение в уравнения системы (б)-(ж).

Из уравнений (б) и (в) выражаем токи 5-й и 6-й ветвей соответственно:

и подставляем их в уравнения (г)-(ж). В результате система примет вид:

Из уравнения (г) выражаем ток в 1-й ветви . Подставив их в уравнения (д)-(ж), выразим из уравнения (д) ток нагрузки:

.

После подстановки полученного выражения в уравнения (е)-(ж), получим систему:

После упрощения полученной системы с учетом того, что и и подстановки исходных значений получаем систему дифференциальных уравнений следующего вида:

1.2 Точное решение уравнений состояния

В матричном виде полученная система дифференциальных уравнений имеет вид:

Решение для переменных состояния через матричную экспоненциальную функцию имеет вид.

В нашем случае значения параметров матрицы V не зависят от времени, поэтому решение можно переписать следующим образом.



Используя метод Жордана-Гаусса, находим обратную матрицу A^-1.

Рис. 3. Схема для определения независимых начальных условий

Матрицу начальных условий найдем из системы (1) при i_C=0 и u_L=0.

Найдем экспоненциальную матричную функцию e^A(t). Для этого сначала найдем собственные значения матрицы A, т.е. решим уравнение

В результате решения имеем:



Разложим экспоненциальную матричную функцию в ряд Тэйлора.

Для того, чтобы найти ₀(t) и ₁(t), решим систему линейных уравнений.

Полученные формулы для ₀(t) и ₁(t) преобразуем, воспользовавшись формулой Эйлера :

В записанных выражениях _Д=Re(₂), _М=Im(₂)

Подставив полученные формулы в (3), получим:

Теперь подставим все значения в формулу (2) и получим X(t).



1.3 Решение уравнений состояния численным методом

Численное решение системы дифференциальных уравнений найдем методом Эйлера. Данный метод итерационный. Каждое следующее значение функции вычисляется как первое приближение по производной,то есть:

Размер интервала X выбираем не меньше отношения числа реактивных элементов в цепи к действительному значению минимального корня характеристического уравнения(собственного числа матрицы A). В нашем случае выбран интервал в 2 раза меньший, чем необходимо.

.

В таблице 3 приведены расчеты значений функций и их производных. На рис. 4,5 представлены графики зависимости напряжения на С-элементе и тока на L-элементе от времени.

Таблица 3

Расчеты для численного решения

Другие файлы:

Методы анализа линейной электрической цепи при различных воздействиях на нее
Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях. Поиск точных решений уравнений состояния. Метод Эйлера. Пос...

Анализ электрической цепи
Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях. Определение независимых начальных условий. Поиск точных реш...

Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии, частотным методом при апериодическом и периодическом воздействии. Уравнения состояния...

Основы теории электрических цепей
Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях. Составление уравнений по законам Кирхгофа. Анализ цепи опер...

Методы анализа линейных электрических цепей
Анализ цепи во временной области методом переменных состояний и постоянных воздействий. Составление уравнений относительно переменных состояния цепи и...

№	t, c	uC, В	iL, А
1	0	2500	2	169411,76	-254,1176
2	110-5	2501,69	1,9975	134964,71	-72,8471
3	210-5	2503,04	1,9968	9788,24	10,9177
4	310-5	2503,14	1,9969	-10917,65	9,9765
5	410-5	2503,03	1,997	-3952,94	1,13
6