Анализ электрической цепи

Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях. Определение независимых начальных условий. Поиск точных решений уравнений состояния электрической цепи. Анализ операторным методом при апериодическом воздействии.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Министерство Образования Российской Федерации

Хабаровский Государственный Технический Университет

Курсовая работа

по Электротехнике

Выполнил: ст-т гр. ПО-22

Бернадцкий С.Л

Проверил: д. ф.-м. н., профессор

Кузьменко А.П.

Хабаровск, 2004 г.

1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Требуется:

1.1. Составить уравнения состояния цепи для t ??0.

1.2. Найти точные решения уравнений состояния.

1.3. Найти решения уравнений состояния, используя по выбору студента один из численных методов. Вид решаемых уравнений:

1.4. Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния.

Схема соответствующая варианту 3, имеет вид:

3 вариант	R=1103	L=7.510-3	C=7,510-9	R=2103	R=1103	R=6103

e(t) = const = E = 5 В.

I(t) = I*1(t) = 2*1(t) А.

1.1 Определим независимые начальные условия для исследуемой электрической цепи

Моменту времени до коммутации (отсутствует источник тока, катушка вырождается в провод, на месте конденсатора - обрыв соединения, так как протекает постоянный ток; источник тока играет роль ключа: I(t)=2*1(t) ) соответствует схема:

Используя 1-ый и 2-ой законы Кирхгофа, составим систему уравнений для вышеуказанной схемы (направление обхода контура выберем в соответствии движению часовой стрелки):

Откуда находим:

iL(0) = e(t)/R1=E/R1=5/1000=5*10-3 А.

UC(0) = 0 В.

Очевидно данное решение можно получить из анализа топологии схемы - в нашем случае весь ток пойдет по ветви с катушкой, так как ее сопротивление значительно меньше, чем например конденсатора, напряжение на котором будет равным нулю.

Таким образом, получаем матрицу независимых начальных условий:

Используя 1-ый и 2-ой законы Кирхгофа, составим систему уравнений для исходной схемы:

В соответствии с методом переменных состояния, перепишем систему в дифференциальном виде. Для C элемента запишем ЗТК (), для L элемента ЗНК ().

Полученная система имеет вид:



Решая данную систему относительно неизвестных переменных состояния (iL, UC):

1. Выразим из 1-го уравнения

,

подставим в остальные уравнения

Очевидно те неизвестные, которые не интересуют нас и которые были уже подставлены в другие уравнения могут быть исключены из системы.



2. Выразим из 2-го уравнения

,

подставим в остальные уравнения

3. Выразим из 3-го уравнения

,

подставим в остальные уравнения, упростим



4. Выразим из 4-го уравнения

,

подставим в остальные уравнения, упростим

5. Выразим из 5-го уравнения

,

подставим в остальные уравнения, упростим



6. Выразим из 6-го уравнения

,

подставим в остальные уравнения, упростим

7. Выразим из 7-го уравнения , подставим в остальные уравнения, упростим



Откуда:

1.2 Найти точные решения уравнений состояния

Запишем полученные уравнения в матричной форме вида:

(Заметим, что число элементов данной матрицы равно числу реактивных элементов в исследуемой электрической цепи),

матрица соединений, которая содержит элементы, связывающие iL, UC,

,

,

(из условия)

- матрица, учитывающая внешние источники.

Таким образом, получаем:

Записываем решение для переменных состояния через экспоненциальную матричную функцию:

Так как, в нашем случае, матрица F = const, то вид уравнения упрощается:

где - матрица обратная матрице A



Найдем собственные значения матрицы A:

Откуда

Разложим экспоненциальную матричную функцию в ряд Тейлора:

Число элементов разложения равно числу переменных состояния (=2).

Находим через найденные выше собственные значения:



Откуда

С учетом , получим:

;

Получаем функции состояния:

Построим графики полученных зависимостей:



Рис. 1.1. График зависимости тока на катушке от времени

Рис.1.2. График зависимости напряжения на конденсаторе от времени.

1.3 Решение численным методом

В качестве метода решения дифференциальных уравнений используем метод Эйлера:

.

Решим дифференциальные уравнения:

Результаты численного решения:

Графики соответствующие полученным данным имеют вид:

График зависимости тока на катушке от времени (синим пунктиром показан график соответствующий численному решению)

Рис.1.3 Графики зависимости тока на катушке от времени.

График зависимости напряжения на конденсаторе от времени(синим пунктиром показан график соответствующий численному решению).

Рис.2 Графики зависимости напряжения на конденсаторе от времени.

2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

В данной части работы требуется:

1. Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.

2. Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения или тока.

3. Определить изображение по Лапласу входного импульса.

4. Найти напряжение или ток на выходе цепи, используя HU(p) или HI(p) соответственно.

5. Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом -- входной и выходной сигналы.

Источник тока отсутствует; входное напряжение имеет зависимость следующего вида:

Параметры для данного варианта:

Um, B	tu, c
10	610-5

Исследуемая схема имеет вид:



1. В соответствии с законами Кирхгофа, составим уравнения для данной схемы:

2. Запишем систему в операторном виде, произведя следующие замены:

=>

3. Определим функцию передачи.

Передаточные (системные) функции цепи могут быть определены как отношение выходной величины ко входной. В зависимости от того какие величины входят в определение передаточной функции различают: передаточные функции по напряжению, по току, передаточные сопротивления и проводимости. Функция передачи по току может быть представлена в виде: HU (p) = UН (p)/Uвх(p), где UН (p) и Uвх(p) операторные изображения выходного и входного сигналов, соответственно.

, где

Из составленной выше системы найдем ток , используя аналогичные расчеты из 1-ой части:

Тогда:

4. Найдем нули и полюса функции передачи.

Нули:

Полюса:

нули функции передачи	полюса функции передачи

Нетрудно заметить, что полюсы передаточной функции p...