Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии, частотным методом при апериодическом и периодическом воздействии. Уравнения состояния и система уравнений Кирхгофа. Амплитудный и фазовый спектры входного сигнала. Полоса пропускания цепи.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Содержание:

Схема цепи и её параметры

1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

3. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии

4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии

5. Вывод

6. Список литературы



Размещено на

Рис 1. Принципиальная схема исследуемой цепи

Параметры:

R1 = 500 Ом

R2 = 500 Ом

R3 = 1000 Ом

Rn = 1000 Ом

L1 = 0.02 Гн

L2 = 0,04 Гн

C = 1.6 •10 -7 Ф

1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Для цепи дано и В, где

По данным требуется:

1. 1 Составить уравнения состояния цепи при .

1.2 Найти точные решения уравнения состояния.

1.3 Найти решение уравнения состояния, используя один из численных методов.

1.4 Построить точные и численные решения уравнения состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния.

1.1 Составление уравнений состояния

Размещено на

Уравнения состояния в нормальной форме имеют вид . Для определения элементов матриц будем искать формулы, определяющие , и через iL1, iL2 и uC. Из полученных таким образом уравнений будут найдены матрицы и (F)

По условию задания матрицы , примут вид:

,

Расставим токи и составим уравнения по законам Кирхгофа, в результате получим:

Теперь из них выразим , и , зная, что :

1.2 Точное решение уравнений состояния

Точному решению дифференциальных уравнений соответствует следующая формула

Как видно для решения нам потребуются начальные условия и матричная экспоненциальная функция .

Определим начальные условия, при t<0 и e(t) = 0:

Размещено на

Из рисунка следует, что iL10 = iL20=R2 , а напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на резисторе R2.

Составим уравнения по законам Кирхгофа для нахождения iRn:

J - iR1 - iR2 = 0 4 - iR1 - iR2 = 0

-iR1•R1 + iR2•R2 = 0 -500•iR1 + 500•iR2 = 0

Отсюда следует, что

iR2 = iL10 = iL20 = 2 A

uC0 = R2•iR2 = 500 •2= 1000 В

Определим матричную экспоненциальную функцию :

Это можно путем разложения в ряд Тейлора, так чтобы число слагаемых ряда равнялось числу реактивных элементов, т.е. три члена.

, где

Коэффициенты можно определить из следующей системы:

В этой матрице собственные числа матрицы , которые могут быть получены из условия . Или используя MathCad:

Теперь найдем :

Запишем матричную экспоненциальную функцию:

Найдем переменные состояния, пользуясь формулой

но в нашем случае, т.к. источники питания постоянны можно воспользоваться более простой формулой

1.3 Решение уравнений состояния численным методом

Воспользуемся наиболее простым методов решения систем дифференциальных уравнений - методом Эйлера. Он заключается в следующем - пусть дана зависимость . Тогда определится из формулы . Точность формулы тем выше, чем меньше , - заданное начальное условие.

Точность решения задается следующими параметрами:

,

где N - число разбиений.

Для наших переменных состояния имеем:

Графики решений уравнения состояний приведены ниже. Сплошная линия соответствует точному решению, а прерывистая численному решению.

2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

Анализу подлежит цепь, изображённая на рис.1, причём в цепи e(t)=0. Начальные условия в цепи нулевые. В момент времени t=0 на вход цепи подан сигнал в виде одиночного импульса тока с параметрами Im= 0.5 A и tи= 8•10 -5 с.

По данным требуется:

2.1 Найти функцию передачи.

2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.

2.3 Найти переходную h1(t) и импульсную h?(t) характеристики для выходного напряжения или тока.

2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса.

2.5 Найти ток на выходе цепи, используя H(p).

2.6 Построить на одном графике переходную h1(t) и импульсную h?(t) характеристики цепи, на другом - входной и выходной сигналы.

2.1 Передаточная функция

Размещено на

Для нахождения передаточной функции составим систему уравнений Кирхгофа для цепи:

Выразим J(p) через IRn(p):

Теперь найдем передаточную функцию



2.2 Полюса и нули передаточной функции

Нули передаточной функции находим из условия равенства нулю числителя передаточной функции

Полюса передаточной функции найдем из условия равенства нулю знаменателя передаточной функции

Полюса передаточной функции совпадают с собственными значениями матрицы А из первой части, что свидетельствует о правильности решения.

Изобразим полюса и нули передаточной функции на комплексной плоскости, причем полюса передаточной функции изображаются крестиками, а ноль функции кружком. Данная цепь ограничивает области комплексной плоскости второй и третей квадрантами, в которых могут располагаться нули и полюсы. Только при этом условии свободные составляющие токов и напряжений затухают, отсутствие мнимой части говорит о том, что затухание апериодическое.

2.3 Переходная и импульсная характеристика

Знание передаточной функции позволяет нам найти переходную и импульсную характеристики цепи. Переходная характеристика может быть получена путем обратного преобразования Лапласа от отношения передаточной H(p) функции к p

Импульсная характеристика определяется как обратное преобразование Лапласа от H(p)

2.4 Изображение входного сигнала

Найдем изображение нашей функции используя прямое преобразование Лапласа:

2.5 Ток на выходе

Найдем ток на выходе из формулы

Найдем оригинал используя обратное преобразование Лапласа:

2.6 Графики входного и выходного токов

3. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии

Анализу подлежит цепь, изображённая на рис.1, причём в цепи e(t)=0. Начальные условия в цепи нулевые. В момент времени t=0 на вход цепи подан сигнал в виде одиночного импульса, соответствующий импульсу из второй части.

По данным требуется:

3.1. Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функции передачи H(jw).

3.2. Определить полосу пропускания цепи по уровню 0,707 |H(jw)|макс.

3.3. Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала. Определить ширину спектра входного сигнала по уровню 0,1|F(jw)|макс.

3.4. Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи. Сверить эти качественные оценки с сигналом на выходе, полученным в п. 2.5.

3.5. Найти и построить амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала.

3.6. Определить выходной сигнал по вещественной или мнимой частотной характеристике, используя приближённый метод Гиллемина.

3.1 АФХ, АЧХ, ФЧХ передаточной функции H(p)

Наиболее простой способ получения АЧХ цепи - это замена в выражении для H(p) операторной переменной p на мнимую частоту j? и нахождение модуля полученной комплексной функции частоты: |H (j?)|:

Для получения ФЧХ воспользуемся формулой:

Амплитудно-фазочастотная характеристика цепи (годограф) связывает воедино АЧХ и ФЧХ во всем диапазоне частот.

Годограф является параметрической кривой, параметром которой является частота ?. Длина вектора, проведенного из начала координат к какой- либо точке годографа соответствует абсолютному значению передаточной функции на этой частоте |H(j?)|, а угол между ним и положительным направлением вещественной оси - аргументу передаточной функции .

цепь закон кирхгоф сигнал

3.2 Полоса пропускания цепи по уровню 0.707

Полосой пропускания цепи называют диапазон частот, для которых коэффициент передачи не более чем в 0.707 отличается от его максимального значения.

- уровень полосы пропускания

Полоса пропускания без учета отрицательных частот, которые не имеют физического смысла, равна

3.3 Амплитудный и фазовый спектры входного сигнала. Ши...