Метод исследования Диофантовых уравнений и решенные этим методом: теорема Ферма, уравнение Пелля, эллиптических кривых, иррациональные корни уравнения, поиск Пифагоровых троек, уравнение Каталана, гипотезы Билля. Закон распределения простых чисел.
Краткое сожержание материала:

Алгоритм решения Диофантовых уравнений

Нижнегородская область

Г.Заволжье

2009 г.

В работе рассмотрен метод исследования Диофантовых уравнений и представлены решенные этим методом:

- великая теорема Ферма;

- уравнение Пелля;

- уравнения эллиптических кривых У²=X³+K,

(У²=Х³-Х, У²=Х³-Х+1, У²=Х³+аХ+В);

- иррациональные корни уравнения Х²-У²=1;

- поиск Пифагоровых троек;

- уравнение Каталана;

- уравнение гипотезы Билля

Решение Диофантовых уравнений

Лирическое отступление (ЛО) - 1

Всё началось с теоремы Ферма.

В клубе фермистов оказался случайно, решал совершенно другую задачу, и неожиданно пришла идея ВТФ. Я даже не помнил её классическое написание - хⁿ+уⁿ=сⁿ , формулу ВТФ написал в виде хⁿ = уⁿ + сⁿ, а потом не стал переучиваться, т.к. привык к своему написанию формулы.

ЛО - 2. При доказательстве ссылаюсь на закон распределения простых чисел. Можно было бы обойтись без упоминания оного. Просто сохранил историческую правду, т.к. лично для меня этот закон стал подсказкой.

ЛО - 3. Этот же подход был применён для решения уравнения гипотезы Биля и решения других уравнений. Выводы получились интересными.

Для себя обкатал этот метод на нескольких шуточных уравнениях. При профессиональном подходе, похоже, этот метод может дать как качественные выводы, так и количественные, окончательный же приговор этому методу будет сделан совместными усилиями.

Великая теорема Ферма. Решение

- не имеет решений в целых числах при показателе степени n>2.

Для доказательства данного утверждения было рассмотрено аналогичное функциональное уравнение. Чтобы получить функциональное уравнение надо обратиться к закону распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. В таблице изображена матрица распределения составных чисел в ряду натуральных чисел.

4	+2	6	+2	8	+2	10	+2	12	+2	14	+2	16	+2	18	…
+2		+3		+4		+5		+6		+7		+8		+9
6	+3	9	+3	12	+3	15	+3	18	+3	21	+3	24	+3	27	…
8	+4	12		16		20		24		28		32		36	…
+2
10	+5	15		20		25		30		35		40		45	…
12	+6	18		24		30		36		42		48		54	…
+2
14	+7	21		28		35		42		49		56		63	…
+2
16	+8	24		32		40		48		56		64		72	…
+2
18	+9	27		36		45		54		63		72		81	…
…		…		…		…		…		…		…		…

Формула любого составного числа, соответствующего этой матрице, имеет вид - (_i + 1) ( _j + 1), где _i - номер столбца этой матрицы,

_j - соответственно, номер строки этой матрицы. Для верхней строки ( = 1) формула составного числа примет вид - 2(_i + 1) - это ряд чётных чисел.

Всё это пока заготовка для доказательства великой теоремы Ферма (ВТФ).

Нечётные числа примут вид 2(_i + 1) ± 1. В нашем случае пусть нечётные числа будут - 2(_i + 1) - 1.

Чтобы доказать ВТФ надо рассмотреть три варианта:

- I X - чётное число, У - чётное число, Z - чётное число;

- II X - чётное число, У - нечётное число, Z - нечётное число;

- III X - нечётное число, У - чётное число, Z - нечётное число.

Вариант I. Пусть уравнение ВТФ верно для чётных чисел.

В формулу ВТФ вставим аналитические выражения чётных чисел.

[2(₁ + 1)]ⁿ = [2(₂ + 1)]ⁿ + [2(₃ + 1)]ⁿ ,

где для определённости возьмём ₁ > ₂ > ₃

После упрощения.

(₁ + 1)ⁿ = (₂ + 1)<...