Особенности дифференциальных уравнений как соотношения между функциями и их производными. Доказательство теоремы существования и единственности решения. Примеры и алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель в примерах.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Введение

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.

Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. В данной работе рассмотрены уравнения в полных дифференциалах. Физический смысл этих уравнений в том, что они показывают элементарную работу в потенциальном силовом поле.

Данная работа несет реферативный характер.

Курсовая работа содержит 4 главы.

В первой описываются основные определения и утверждения, необходимые для изучения данного вопроса. Во второй главе рассмотрена и доказана теорема существования и единственности решения.

В третьей главе рассматривается алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах и примеры. В четвертой главе рассматривается интегрирующий множитель и примеры.

1. Основные понятия и определения

дифференциальный уравнение теорема

Определение 1.1

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, (включая саму эту точку). Если существует предел отношения приращения функции Дy = f(x0 + Дx) ? f(x0) к вызвавшему его приращению аргумента Дx, когда Дx > 0, то этот предел называется производной функции y = f(x) в точке x0 и обозначается символом f '(x0), т.е.

Определение 1.2

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y).

Частной производной функции z=f(x,y) в точке (x0, y0)D(у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменной стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).

,

.

Определение 1.3

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

x0+) - f(x0)=A+o(,

где A -- число, не зависящее от Дх, а o(Дx) -- функция более высокого порядка малости чем Дx при Дх > 0 .

Определение 1.4

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е. df(x0)=A

Определение 1.5 Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке P0(x0;y0), то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

=df(x0;y0)=(x0;y0) ?x+(x0;y0) ?y.

Определение 1.6 Общее решение дифференциального уравнения -- это соотношение вида y = y(x,C1,C2,C3,...Cn), зависящее от n произвольных постоянных.

Определение 1.7 Общий интеграл дифференциального уравнения -- это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x,y,C1,C2,C3,...Cn) = 0.

Определение 1.8 Частный интеграл дифференциального уравнения -- это общий интеграл при заданных значениях постоянных C1,C2,C3,...Cn.

Определение 1.9 Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределенного интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y=F(x)+C, где каждому C соответствует определенная кривая семейства.

Определение 1.10 Функция µ=µ(x,y)?0 называется интегрирующим множителем для уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, если уравнение

µ(x,y)P(x,y)dx+µ(x,y)Q(x,y)dy=0

является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению

Q=. Если

(не зависит от y), то . Аналогично, если (не зависит от x), то

Теорема 1.1 Пусть функция F(u, х, у) дифференцируема в некоторой, окрестности точки M0(u0, х0, у0) пространства R, причем частная производная непрерывна в точке M0. Тогда, если в точке M0 функция F обращается в нуль, а частная производная не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа е, найдется такая окрестность точки M0'(х0, у0) пространства R', что в пределах этой окрестности существует единственная функция u = ц(х, у), которая удовлетворяет условию | u - u0 | < е и является решением уравнения F( х, у,u) = 0, причем эта функция u = ц(х, у) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки M0'.

2. Уравнения в полных дифференциалах

Определение 2.1 Дифференциальное уравнение вида

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой

u(x, y)=C,

где C ? произвольная постоянная.

Теорема 2.1 Чтобы дифференциальное выражение , где функции P и Q определены и непрерывны в области D плоскости XOY и имеют в ней непрерывные частные производные, представляло полный дифференциал некоторой функции u (х, у), необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D было выполнено условие

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует функция u (х, у) такая, что выполняется равенство P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Докажем, что тогда выполняется и равенство

.

По определению полного дифференциала

dy,

но тогда из P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 следует, что

, Q(x,y)

Дифференцируем обе части этих равенств:

, ,

следовательно

Поскольку смешанные производные равны, необходимость доказана.

Достаточность. Пусть равенство выполняется. Надо доказать, что и P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 в этом случае справедливо, то есть выполняется соотношение

dx + .

Таким образом, задача сводится к отысканию функции u (х, у), частные производные которой подчинялись бы равенствам

и Q(x,y).

Найдём эту функцию. Проинтегрируем уравнение , записав решение в виде:

U(x, y) =

где (x0, y0) принадлежит D,

ц(y) - произвольная функция аргумента у, заменяющая произвольную постоянную, поскольку интегрирование произведено по х, в предположении, что у = c o n s t (то есть у сохраняет неизменное значение).

Определим функцию ц(y) так, чтобы удовлетворялось и равенство

Q(x,y).

Продифференцируем функцию

U(x, y) =

по у:

=

Используя теорему о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом и равенство

Q(x,y),

запишем:

Q(x,y)=.

Применяя соотношение

,

получаем:

.

Вычислим последний интеграл:

-Q(x0, y),

а, значит,

следовательно

Подставляя ц(y) в U(x, y) =, получаем окончательно:

U(x,y)=,

c=const.

Теорема 2.3 Пусть в прямоугольнике M: a<x<b, c<y<d

Функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе с их частными производными

и ,

причем всюду в M выполняется условие и Q(x,y) не обращается в нуль. Тогда через каждую точку (x0,y0) прямоугольника M проходит одна и только одна интегральная линия уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Доказательство.

Как было только что указано, в прямоугольнике M существует функция z(x,y), полный дифференциал которой равен левой части

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Но так как Q0, то уравнение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

можно переписать в эквивалентом виде:

P(x,y)+Q(x,y)y'=0

или с учетом равенств

, Q так:

Поэтому функция y(x) является решением уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

тогда и только тогда, когда z(x,y(x))?C

Этому уравнению, если C?z(x0,y0), не может удовлетворять линия, проходящая через точку (x0,y0). Если же C=z(x0,y0), то из теоремы о неявной функции следует, что уравнение z(x,y(x))?C определяет линию, проходящую через точку (x0,y0), и притом только одну. Теорема доказана.

Лемма 2.1 Всякая непрерывная на множестве

функция...