Исследование распространения волн давления в артериях по одномерной теории

Особенности вывода дифференциальных уравнений осесимметрических движений круглой цилиндрической оболочки. Построение частного волнового решения основной системы уравнений гидроупругости вещества. Метод решения уравнения количества движения для жидкости.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Введение

В последние годы быстрыми темпами развивается биомеханика - новая область естествознания, опирающаяся на механику сплошных сред и медицину. Внимание этой области направлено на теоретическое и практическое развитие медицинской практики с путем математического моделирования в рамках механики твердых, жидких и газообразных сред.

В курсовой работе будет рассматривается осесимметричное движения вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубке, стенка которой представляет собой вязкоупругую ортотропную мембрану, прикрепленную к жесткой внешней структуре линейными связями.

В 1-й главе дадим вывод дифференциальных уравнений осесимметричных движений круглой цилиндрической оболочки с учетом безмоментной теории. Далее будет рассмотрена постановка рассматриваемой задачи. Во 2-й главе преобразуются уравнения и граничные условии задачи,с учетом,что все переменные пропорциональны , где - волновой шаг.

В 3-й главе работы получим дисперсионное уравнение для нахождения волнового числа .

Глава 1. Постановка задачи

1.1 Вывод дифференциальных уравнений осесимметрических движений круглой цилиндрической оболочки (безмоментная теория)

Размещено на

Размещено на

Пусть в невозмущённом состоянии оболочка представляет собой круглый тонкостенный цилиндр постоянного сечения, стенка которого имеет радиус a, плотность , толщину h (см. рис.1). На стенки этой оболочки действует трансмуральное давление . Обозначим T-окружное натяжение на единицу длины, соответствующее трансмуральному давлению т.е.

.

На передний торец на единицу длины окружности действует продольное натяжение S.

Будем пользоваться полярной системой координат и ограничимся рассмотрением осесиметричных возмущений, при которых перемещения в направлении отсутствуют.

Оболочка находится в предварительно натянутом состоянии, т.к. имеются напряжения закрепления, действующие со стороны окружающих сосуд тканей. Напряжения на стенке моделируются в предположении, что внешние ткани вносят дополнительную инерционность, жесткость и вязкоупругое демпфирование. Обозначим X и Y -напряжения закрепления в осевом и радиальном направлениях соответственно.

Из рассматриваемой оболочки вырежем малый элемент и составим уравнение равновесия этого элемента. Все внутренние и внешние усилия являются приведенными к срединной поверхности, причем она оказывается загруженной как распределенными усилиями, так и моментами. Однако, в случае тонких оболочек, моменты будут малы по сравнению с усилиями. Это позволяет считать, что действие внешних усилий будет определяться только действием распределенных сил (случай безмоментной теории). Такой подход позволяет рассматривать вместо равновесия элемента как единого целого, равновесие срединной поверхности (см. рис. 2).

Размещено на

Размещено на

Точки A ,B, C, D срединной поверхности имеют только радиальное перемещение , следовательно, длины дуг AB и CD равны

,

Площадь четырехугольника ABCD будет равна

.

Запишем уравнение изменения количества движения элемента оболочки в осевом направлении под действием указанных на рисунке сил.

Это соотношение можно преобразовать к виду

или

В этом уравнении учтены составляющие поперечных сил натяжения в осевом направлении (рис.3), которые появляются в результате деформации элемента оболочки.

Размещено на

Размещено на

Из рисунка 3 видно, что

Аналогично записывается уравнение движения стенки в радиальном направлении. А именно

В этой формуле учтены составляющие продольных сил натяжения в радиальном направлении (Рис.4) которые появляются в результате деформации элемента оболочки.

Размещено на

Размещено на

Указанные на рисунке 4 приращения углов , равны:

Окончательно, получаем

или,

с учётом уравнение движения стенки сосуда в радиальном направлении примет вид

.

Таким образом, уравнения движения стенки имеют

(1.1)

1.2 Соотношения напряжения - деформации

В ортотропных вязкоупругих оболочках возмущения натяжений легко связать с перемещениями, если ограничиваться рассмотрением синусоидальных возмущений с угловой частотой , при которых все переменные пропорциональны . Тогда линейные соотношения, связывающие напряжения, деформации и скорости деформаций, если все переменные берутся в комплексном виде, сводятся к линейным соотношениям между напряжениями и деформациями. Запишем закон Гука для изотропной оболочки:

(1.2)

Подставим в (1.1) и :



1.3 Напряжения, действующие на стенку

На стенку действуют два типа напряжений.

I. Гидродинамические напряжения, действующие со стороны жидкости в трубке и равные

,

,

в направлениях r и x соответственно. Здесь (u,v,0)-вектор скорости жидкости,

p- возмущение давления жидкости.

II. Имеются также напряжения закрепления, действующие со стороны материала снаружи трубки. Напряжения на стенке моделируются в предположении, что внешняя ткань вносит дополнительную инерционность, жёсткость и вязкоупругое деформирование.

Таким образом, напряжения на стенке запишутся в виде

(1.4)

1.4 Уравнение движения и кинематические граничные условия для жидкости

Проекции линеаризованного уравнения количества движения (уравнения Навье-Стокса) в осевом и радиальном направлении имеют вид

(1.5)

Уравнение неразрывности записывается как

. (1.6)

Граничные условия на стенке (условия прилипания) запишутся так:

(1.7)

С помощью уравнения (1.6) упростим систему (1.5):

Умножим первое уравнение на , а второе уравнение на .

Сложим уравнения между собой и применив уравнение неразрывности получим уравнение движения:

(1.8)

Глава 2. Построение частного волнового решения основной системы уравнений гидроупругости

В главе -1 рассматриваемая задача была полностью поставлена.

Сведём её к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений, предполагая, что все переменные пропорциональны , где - действительное значение угловой частоты, - волновой шаг. Обозначим соответствующую амплитуду каждой величины индексом `1'. Тогда все переменные поставленной задачи запишутся в виде

(2.1)для стенки,

(2.2) для жидкости.

В переменных вида (2.1),(2.2) гидродинамические напряжения, действующие со стороны жидкости в трубке, равны

Преобразованные уравнения напряжения на стенке имеют вид:

(2.5)

Рассмотрим проекции уравнения количества движения (1.5) и преобразуем их с помощью выражений (2.2). Получим

или

Если учесть, что

то уравнения количества движения примут вид

(2.6)

С учётом (2.1),(2.2) уравнение неразрывности запишется как

.(2.7)

Аналогично преобразовываются кинематические граничные условия на стенке

(2.8)

и на оси трубки

,при . (2.9)

Таким образом, исходная задача (1.1)-(1.8) перешла в систему ОДУ (2.3)-(2.7) с линеаризованными граничными условиями на стенке (2.8) и на оси трубки (2.9).

Глава 3. Дисперсионное уравнение

3.1 Решение уравнения количества движения для жидкости

(1.5)- Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение можно найти как сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, соответствующего рассматриваемому неоднородному уравнению

Частное решение неоднородного уравнения: возьмем в виде

_(3.1)

Общее решение однородного уравнения находится из уравнения вида:

.

Это уравнение можно привести к уравнению Бесселя

,а именно

.

Линеаризация уравнений гидродинамики справедлива, пока выполняется неравенство ,поэтому приход...