Теоретические законы распределения отказов

Расчет вероятности безотказной работы звена матричным методом. Методика расчета вероятности безотказной работы резервируемой системы, применение метода Ньютона. Непрерывные распределения случайных величин в теории надежности: случайная величина и событие.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Содержание

Задача №1. Решение задачи матричным методом

Задача №2. Решение задачи по оптимальному резервированию

Теоретические законы распределения отказов

надежность отказ случайная величина

Задача №1

Узел аппаратуры состоит из двух параллельно включенных блоков, имеющих интенсивность отказов равных:

(1/ч);

(1/ч).

При отказе одного из блоков узел еще продолжает функционировать, но коэффициент электрической нагрузки второго элемента увеличится, вследствие чего интенсивность отказов возрастает до величины

(1/ч).

Требуется рассчитать вероятность безотказной работы звена на этих условиях за время t=44000 ч.

Решение:

Из общего числа состояний узла выбираем следующие три благоприятные гипотезы:

1 оба элемента исправны (Н0),

2 отказал первый элемент (Н1),

3 отказал второй элемент (Н2).

Остальные состояния, когда отказали оба элемента в различной последовательности, соответствуют неблагоприятным гипотезам (отказ узла).

1 Вероятность первого состояния

2 Вероятность второго состояния

=-1,45*=0,0996

3 Вероятность третьего состояния

= - 0,82*=0,056,

Вероятность безотказной работы узла

Р1(t)==0,7125+0.0996+0.056=0.868,

Ответ:

Вероятность безотказной работы на данных условиях равна 0,868

Задача №2

Имеется нерезервированная система, состоящая из пяти блоков.

Вероятность отказа блоков и их веса будут следующими:

q1=0.51; q2=0.33; q3=0.20; q4=0.37; q5=0.24.

G1=4; G2=1; G3=1; G4=5; G5=1.

Требуется резервировать систему так, чтобы вес ее не превышал Gдоп.=60кг, а вероятность безотказной работы была бы максимальной.

Решение

Задача будет решатся таким, образом

1 По формуле :

аj=,

определим для каждого блока:

а1==5,94;

а2==0,902;

а3==0,621;

а4==5,029;

а5==0,701.

2 находим у0 - корень уравнения

;

Это трудоемкая задача, поэтому можно использовать следующий прием:

,

где В=Gдоп+,

Вычисление дает значение

В=60+18.69=78.69

=389.29,

Данное приближение можно уточнить, используя, например, метод Ньютона:

=389,29-1=388,29

Получаем =388,29 линейная интерполяция значений и

Дает корень =387,29

Вычисляем ,

,

		а	б	в
s1	6,23	6	6	7
s2	5,47	6	5	5
s3	4,00	4	4	4
s4	4,38	4	4	5
s5	4,43	4	5	4
Gобобщ,кг	60,71	58	58	66
	)	16,71	2,71	-5,29

которые могут иметь любые значения. Но нужно значения , которые дают максимум функции Рр(s) и удовлетворяют условию

;

Вычисляем по данной формуле обобщенный вес, смотри таблицу.

Принимаем целочисленные значения, смотри таблицу

Находим ;

и =min

Наилучшее приближение получаем в варианте «б».

По формуле

,

определяем вероятность безотказной работы резервируемой системы

Рр=0,957

Для сравнения при дробных sj вычислим

Рмах= 0,967

Ответ:

Вероятность безотказной работы резервируемой системы

Рр=0,957

В выбранных условиях мы получили максимальную вероятность безотказной работы.

Теоретические законы распределения отказов

Отказы в системах возникают под воздействием разнообразных факторов. Поскольку каждый фактор в свою очередь зависит от многих причин, то отказы элементов, входящих в состав системы, относятся, как правило, к случайным событиям, а время работы до возникновения отказов - к случайным величинам. В инженерной практике возможны и не случайные (детерминированные) отказы (отказы, возникновение которых происходит в определенный момент времени, т.е. в момент возникновения причины, так как существует однозначная и определенная связь между причиной отказа и моментом его возникновения). Например, если в цепи аппаратов ошибочно поставлен элемент, не способный работать при пиковой нагрузке, то всякий раз когда возникает эта нагрузка, он обязательно перейдет в отказовое состояние. Такие отказы выявляются и устраняются в процессе проверки технической документации и испытаний. При анализе надежности объектом исследования являются случайные события и величины. В качестве теоретических распределений наработки до отказа могут быть использованы любые применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. В принципе можно взять любую кривую, площадь под которой равна единице, и использовать ее в качестве кривой распределения случайной величины. Поэтому прежде чем приступить к инженерным методам расчета надежности и испытаний на надежность, следует рассмотреть закономерности, которым они подчиняются.

Случайное событие

Случайное событие - событие (факт, явление), которое в результате опыта может произойти или не произойти. Случайные события (отказы, восстановления, заявки на обслуживание и др.) образуют случайные потоки и случайные процессы. Поток событий - последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то отрезки времени. Например, отказы восстанавливаемого устройства образуют поток событий (поток отказов). Под действием потока отказов и потока восстановлений техническое устройство может находиться в различных состояниях (полного отказа, частичного отказа, работоспособное). Переход изделия из одного состояния в другое представляет собой случайный процесс.

Случайная величина

Случайная величина - величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайная величина может быть дискретной (число отказов за время t, число отказавших элементов при наработке заданного объема и т.д.), либо непрерывной (время наработки элемента до отказа, время восстановления работоспособности).

Закон распределения случайной величины - соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями. Он может быть представлен формулой, таблицей, многоугольником распределений.

Для характеристики случайной величины (непрерывной и дискретной) используется вероятность того, что случайная величина X меньше некоторой текущей переменой x.

Функция распределения случайной величины X (интегральный закон распределения) - функция вида F(x) = p (X<x).

Плотность распределения непрерывной случайной величины X (дифференциальный закон распределения) - производная от функции распределения:

, (1)

В теории надежности за случайную величину обычно принимают время работы изделия (время до возникновения отказа). В этом случае функция плотности распределения f(t) будет служить полной характеристикой рассеивания сроков службы элементов (1). Вид этой функции зависит от закономерностей процесса потери элементом работоспособности.

Список используемой литературы.

1. Атовмян И.О., Вайрадян А.С. и др. «Надежность авто...