Синтез цифрового рекурсивного фильтра Баттерворта верхних частот третьего порядка по аналоговому прототипу

Расчет цифрового и аналогового фильтра-прототипа. Структурные схемы и реализационные характеристики фильтра. Синтез цифрового фильтра в системе программирования MATLAB. Частотные и импульсные характеристики цифрового фильтра, карта его нулей и полюсов.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Содержание

Введение

1. Расчет аналогового фильтра-прототипа

2. Расчет цифрового фильтра

3. Структурные схемы фильтра

4. Реализационные характеристики фильтра

5. Синтез цифрового фильтра в системе программирования MATLAB

6. Частотные характеристики цифрового фильтра

7. Импульсная характеристика цифрового фильтра

8. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра

Заключение

Список использованных источников

Введение

При обработке сигналов очень часто возникают задачи их фильтрации в связи с возникновением помех, либо с разделением сигнала на составляющие. Устройствами, выполняющими эти функции, являются фильтры. Они без заметного ослабления пропускают сигналы в полосе пропускания и заметно ослабляют их в полосе задержки.

Все фильтры разделяют на 4 основных типа:

· фильтры низких частот - ФНЧ;

· фильтры высоких частот - ФВЧ;

· полосовые фильтры - ПФ;

· режекторные (заграждающие).

Цифровой фильтр - цифровое устройство, которое реализует алгоритм дискретного фильтра. При этом входные и выходные сигналы являются цифровыми (в этом заключается отличие цифрового фильтра от дискретного), т. е. в устройстве циркулируют только двоичные коды, соответствующие значениям аналогового сигнала в моменты выборки.

Целью данной курсовой работы является получение навыков расчёта цифрового рекурсивного фильтра по аналоговому прототипу с привлечением справочных данных. Методом перехода в z-плоскость цифрового фильтра является билинейное преобразование передаточной функции аналогового фильтра. Для анализа реализационных характеристик полученного фильтра предполагается построение его структурных схем. Также предполагается привлечение средств системы программирования Matlab для проверки коэффициентов передаточной функции Цифрового фильтра H(z) и построения его АЧХ, ФЧХ и ИХ.

1. Расчет аналогового фильтра-прототипа

Фильтр Баттерворта проектируется так, чтобы его АЧХ была максимально гладкой на частотах полосы пропускания. АЧХ фильтра Баттерворта гладкая на частотах полосы пропускания и снижается практически до 0 на частотах полосы подавления.

При отображении частотного отклика фильтра Баттерворта на логарифмической АФЧХ, амплитуда снижается к минус бесконечности на частотах полосы подавления.

Рисунок 1 - АЧХ фильтра Баттерворта

АЧХ фильтра Баттерворта - монотонно убывающая функция частоты (Рис.1). В случае фильтра 1 порядка АЧХ затухает со скоростью - минус 6 дБ на октаву (минус 20 дБ/дек), для фильтра 2 порядка - минус 12 дБ на октаву, для 3 порядка - минус 18 дБ на октаву.

Фильтр Баттерворта - единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления), тогда как многие другие разновидности фильтров (Бесселя, Чебышева, эллиптический) имеют различные формы АЧХ при различных порядках. В сравнении с фильтрами Чебышева I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики, поэтому должен иметь больший порядок (что труднее в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления. Однако он имеет более линейную ФЧХ на частотах полосы пропускания.

Проектирование ЦФ может осуществляться как методами математического, так и методами эвристического синтеза. Математический синтез успешно используется для проектирования нерекурсивных ЦФ при линейном представлении аппроксимирующей функции. При этом аппроксимационная задача является линейной.

Для линейных задач разработаны эффективные процедуры решения (по крайней мере, численные).

Для рекурсивных ЦФ аппроксимационная задача является нелинейной, поэтому в каждом конкретном случае требуется разработка своего алгоритма решения. По этой причине при проектировании рекурсивных ЦФ используют эвристический синтез. Чаще всего синтез проводится по аналоговым нормированным ФНЧ-прототипам.

Получим аналитическое выражение передаточной функции ФНЧ - прототипа Баттерворта 3-го порядка.

Обобщенная передаточная функция фильтров Баттерворта, Чебышева и эллиптических:

, (1.1)

где коэффициенты (для различных типов аналоговых нормированных ФНЧ определяются табличными данными),

 (1.2)

Для фильтра Баттерворта верхних частот третьего порядка ;,;,

. (1.3)

Подставим значения этих коэффициентов в выражение (1.1), т.о. получим:

. (1.4)

Найдем значения коэффициентов в выражении (1.4).

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Найдём полюсы передаточной функции по формуле:

(1.8)

Так как - комплексно-сопряжённое для , то имеем:

Подставим найденные значения в формулы (1.5) и (1.6)

Нам известно, что умножение комплексной величины на сопряжённую ей даёт единицу, следовательно, получаем:

= 1.

Из формулы (1.7) найдем нормирующий множитель :

Подставляя найденные значения в формулу (1.4) получим передаточную функцию аналогового фильтра-прототипа:

. (1.9)

2. Расчет цифрового фильтра

1 способ

1-ый этап - денормирование частоты в аналоговой области. В результате получаем передаточную функцию H (p) аналогового фильтра, частоты среза которого соответствуют заданным. Операция денормирования соответствует отображению комплексной S-плоскости в комплексную P-плоскость. При этом используется следующая замена аргумента:

. (2.1)

Подстановка

в выражение (1.1) приводит к формуле:

, (2.2)

где ; ;

; (2.3)

; (2.4)

; (2.5)

; (2.6)

; (2.7)

. (2.8)

Подставим численные значения в выражения (2.2) - (2.8). Получаем:

,

,

,

,

.

Подставим найденные коэффициенты в формулу (2.2) и получим передаточную функцию H(p) аналогового фильтра:

. (2.9)

Перемножим полученные дроби и получим:

. (2.10)

 2-ой этап - дискретизаия - в результате выполнения которого получают передаточную функцию ЦФ H(Z). Операция дискретизации соответствует отображению комплексной P плоскости в комплексную Z-плоскость. При этом мнимая ось P-плоскости должна отображаться в единичную окружность Z-плоскости, а левая полуплоскость P-плоскости - во внутреннюю часть круга единичного радиуса Z-плоскости. Выполнение этих требований гарантирует сохранение селективных свойств и устойчивости фильтра при дискретизации.

.

Одним из способов дискретизации является билинейное преобразование:

, (2.11)

где - частота дискретизации.

Билинейное преобразование передаточной функции аналогового фильтра в форме (2.2) приводит к передаточной функции дискретного фильтра следующего вида:

. (2.12)

Теперь рассчитаем коэффициенты этой ПФ:

; (2.13)

; (2.14)

; (2.15)

=0,846 (2.16)

= - 1,693 (2.17)

=0,846 (2.18)

= - 1,651 (2.19)

=0,748 (2.20)

2 способ

Возможно также объединение этапов денормирования и дискретизации:

. (2.21)

При этом получается двухэтапная процедура синтеза. Если для дискретизации используется билинейное преобразование, то процедура (2.21) называется обобщенным билинейным преобразованием.

Формулы

обобщенного билинейного преобразования приведеныв таблице 1 и таблице 2.

Таблица 1

Таблица 2

Найдем численные значения параметра преобразования и коэффициенты блоков передаточной функции:

, (2.22)

где - нормированная частота среза. (2.23)

Следовательно,

; (2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

Сравним значения коэффициентов, полученные при расчете первым и вторым способом (таблица 3).

Таблица 3

	1 способ	2 способ
	0,864	0,864
	-0,864	-0,864 ... Другие файлы: Синтез цифрового рекурсивного фильтра Чебышева нижних частот третьего порядка по аналоговому прототипу Аналитическое выражение передаточной функции аналогового фильтра. Построение структурной схемы реализации цифрового фильтра прямым и каноническим спос... Расчет и анализ активного RC-фильтра ФВЧ Баттерворта Фильтры верхних частот с многопетлевой обратной связью и бесконечным коэффициентом усиления. Проект фильтра Баттерворта верхних частот на основе каска... Активные фильтры высоких частот Выделение полезной информации из смеси информационного сигнала с помехой. Математическое описание фильтров. Характеристика фильтра Баттерворта и фильт... Активный фильтр нижних частот каскадного типа Характеристика фильтра низких частот. Фильтр Баттерворта, Чебышева и Бесселя. Определение порядка фильтра и количества звеньев. Структурная схема филь... Дискретная обработка сигналов и цифровая фильтрация Подготовка аналогового сигнала к цифровой обработке. Вычисление спектральной плотности аналогового сигнала. Специфика синтеза цифрового фильтра по зад...