Формализация понятия алгоритма
Формализация понятия алгоритмаДля глубокого, строгого изучения свойств алгоритма и его организации необходима формализация, хотя бы для того, чтобы иметь возможность делать доказательные утверждения о свойствах алгоритма. Подчеркнем, что цель математического уточнения понятия Алгоритма - изучение его свойств, а не создание практического инструмента для построения алгоритмов.Один из возможных путей формализации состоит в том, чтобы подобрать понятия, уже известные в математике, и для которых уже разработан формализм. Одним из таких понятий-претендентов является функция. Действительно, на первый взгляд между функцией и алгоритмом есть много общего. У функции есть область определения, у алгоритма есть область применимости; у функции есть область допустимых значений, у алгоритма есть определенное множество результатов.Рассмотрим взаимосвязь между функцией и алгоритмом. Сразу отметим, что основные свойства этой взаимосвязи мы будем здесь приводить без доказательства. Тому есть как минимум две причины. Первая - у читателя не предполагается знания необходимого математического аппарата; вторая - это увело бы нас в сторону от основной цели - формализации понятия алгоритма.Определение 2.1. Говорят, что алгоритм А вычисляет функцию f(x), если:Существует взаимно однозначное соответствие между областью определения f(х) и областью применимости А;Для любого х из области определения f верно: f(x)= А((x))В этом случае функция f(x) называется вычислимой функцией.Определение 2.2. Говорят, что Алгоритм А разрешает множество М относительно множества Х, где МХ, если:Для любого х из множества М верно, что А(х) = “истина”;Для любого у из Х, но у не принадлежит М, А(у) =“ложь”.В этом случае говорят, что множество М разрешимое.Примеры разрешающих алгоритмов - признаки делимости на 2, на 3, на 5. Эти алгоритмы разрешают множество натуральных чисел, кратных 2 (соответственно 3 либо 5), относительно всего множества натуральных чисел.Определение 2.3. Говорят, что алгоритм А перечисляет множество В если область применимости А есть множество натуральных чисел N, а совокупность результатов есть множество В.В этом случае В называется перечислимым множеством. Другими словами, в перечислимом множестве все элементы занумерованы целыми числами. Любой элемент в перечислимом множестве может быть найден по его номеру.Изучение свойств вычислимой функции, а стало быть и алгоритма, показало, что:Область применимости любого алгоритма - перечислимое множество; Следствие: алгоритмы не могут работать на множестве вещественных чисел.Функция f(x) вычислима тогда и только тогда, когда перечислим ее график, т.е. множество {(x, f(x))} перечислимо.Множество MX разрешимо относительно множества X, когда M и X\M перечислимы.Отсюда видно, что понятие алгоритма не сводимо к понятию функции. Множество функций мощнее множества алгоритмов.Самое важное различие между этими понятиями для нас состоит в том, что алгоритм определяет некоторый процесс, который мы называем вычислительным. Понятие функции не предполагает и не определяет никакого процесса. Функция представляется в виде “черного ящика”, на вход которого подали аргументы и на выходе получили результат. Как этот результат был получен - умалчивается. Понятие алгоритма наоборот прежде всего сфокусировано на процессе вычисления результата. Алгоритм определяет именно то, как по аргументам вычислить результат. Итак, понятие функции, как оно есть в математике, нам не подходит, нужно строить формализацию, специально для алгоритма.Всякое уточнение понятия алгоритма характеризуется следующими семью параметрами:Совокупность возможных исходных данных (алфавит исходных данных).Совокупность возможных результатов (алфавит результатов)Совокупность возможных промежуточных результатов (алфавит промежуточных результатов).Множество действий.Правило начала.Правило окончания.Правило определения расположения результата.Здесь в качестве примеров уточнения понятия алгоритма мы рассмотрим Машину Тьюринга и Нормальные алгоритмы Маркова.Машина Тьюринга.Машиной Тьюринга называется формализм, предложенный для понятия алгоритма, английским математиком Аланом Тьюрингом. В 30-х годах нашего столетия Тьюринг занимался исследованием свойств вычислимых функций и объектом его внимания был вычислительный процесс.В качестве исполнителя алгоритмов им был предложен автомат, состоящий из:бесконечной ленты, разбитой на ячейки;каретки, способной передвигаться над лентой, от ячейки к ячейке, считывать символы, записанные на ленте, записывать символы в ячейки.В каждой ячейке ленты может быть записан только один из определенного множества символов, называемого алфавитом. За одно срабатывание каретка способна выполнить следующие действия:считать символ из ячейки, над которой она находится;записать символ в ячейку, над которой она находится;переместиться либо влево, либо вправо на следующую ячейку, либо остаться на месте.изменять свое внутреннее состояние.Поясним последний пункт. Предполагается, что каретка может находиться в одном из состояний, из определенного множества состояний. Одним из ее действий, на ряду с перечисленными выше, является переход из одного состояния в другое.В терминах, упомянутых выше семи параметров машину Тьюринга можно определить следующим образом.Совокупность возможных исходных данных - алфавит D;Совокупность возможных результатов - алфавит D;Совокупность возможных промежуточных результатов - алфавит D;Множество действий:множество правил вида apbqw, где a,b
Другие файлы:
Понятие алгоритма и его свойства. Блок-схема алгоритма. Технология Robson
Изучение понятия и свойств алгоритма. Определение сущности технологии Robson. Исполнитель, а также блок-схема алгоритма или его графическое представле...
Моделирование и формализация
Основные понятия: модель, моделирование, виды моделей. Пути и способы изучения темы "Моделирование и формализация" в курсе информатики в 8 классе. Соз...
Понятие алгоритма. Вычисление значения функции
Исследование понятия алгоритма, особенностей линейных и разветвляющихся алгоритмов. Свойства алгоритма: понятность, точность, дискретность, массовость...
Формализация понятия "алгоритм"
Понятие алгоритма, введенное в предыдущем параграфе, можно назвать понятием алгоритма в интуитивном смысле. Оно имеет нечеткий, неформальный характер,...
Исследование алгоритма оптимизации
Описание алгоритма культурного обмена и проведение экспериментального исследования средней трудоемкости алгоритма случайного поиска. Основные идеи алг...
