Функції багатьох змінних Означення границя та неперервність похідні диференціали
Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали.Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного арифметичного простору Rn; числа х1,…,хn називаються координатами точки М(х1,…,хn). Відстань між точками М(х1,…,хn) і М/(х/1,…,х/n) визначається за формулою Нехай D Rn – довільна множина n-вимірного арифметичного простору. Якщо кожній точці М(х1,…,хn) D поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число f(M)= f(х1,…,хn), то кажуть, що на множині D задана числова функція f : RnR від n змінних х1…,хn. Множина D називається областю визначення, а множина - множиною значень функції f.Зокрема, при n = 2 функцію двох змінних z = f(x,y),(x,y)D можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з фіксованою системою координат Оxyz. Графіком цієї функції називається множина точокяка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R3.Приклад 4. Знайти точки розриву функції Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється в нуль. Тому вона має лінією розриву пряму 2х + 3у + 4 = 0.Нехай (х01,…,х0k,…x0n) – довільна фіксована точка в області визначення функції u = f(х1,…,хn). Надаючи значенню змінної хk приросту , розглянемо границю.Ця границя називається частинною похідною 1-го порядку функції по змінній xk в точці (x01,…,x0n) і позначається або Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами диференціювання, але при цьому всі змінні, крім xk, розглядаються як сталі.Частинними похідними 2-го порядку функції u=f(x1,…,xn) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні другого порядку позначаються так:Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому змішані частинні похідні неперервні.Повним приростом функції в точці , який відповідає приростам аргументів , називається різниця Функція u=f(M) називається диференційовною в точці М0, якщо скрізь в околі цієї точки певний приріст функції можна подати у вигляді де A1,…An – числа, не залежні від .Диференціалом 1-го порядку du функції називається виразДиференціали незалежних змінних за означенням беруться рівними їх приростам: .Для диференціала
Другие файлы:
Функція, її границя та неперервність
Суть функції багатьох змінних, її означення і символіки. Границя і неперервність функції багатьох змінних. Визначення відкритої та замкненої області....
Похідні та диференціали функції багатьох змінних
Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Д...
Похідні та диференціали функції багатьох змінних
Згідно з означенням при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної x, вважаючи змінну сталою, а при знаходжен...
Визначення та знаходження похідної
Похідна як основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції, границя відношення приросту функції до приросту аргументу...
Знаходження похідної функції
Формування знань учнів про похідні сталої, складеної, показникової, логарифмічної та степеневої функцій з довільним дійсним показником. Вивчення теоре...
