Дисперсионный анализ - исследование причин отклонений фактических затрат от нормативных. Схемы организации исходных данных с двумя и более факторами. Формулы расчета межгрупповой и внутригрупповой дисперсии. Задачи двухфакторного дисперсионного анализа.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Введение

В своей работе я поставила цель: узнать, как применяются методы дисперсионного анализа в экономике. Для достижения этой цели мне предстоит выполнить ряд задач:

1. Узнать, что такое дисперсионный анализ;

2. Узнать, какие бывают методы дисперсионного анализа;

3. Выяснить, как производится дисперсионный анализ;

4. Выяснить, как применяются методы дисперсионного анализа в экономике.

1. Теоретическая часть

1.1 Основные понятия

Анализ отклонений (дисперсионный анализ) - анализ и исследования причин отклонений фактических затрат от нормативных. Отклонение считается благоприятным, если величина фактических затрат меньше величины нормативных затрат; оно неблагоприятно, если фактические затраты превышают величину нормативных затрат. Неблагоприятные отклонения нуждаются в дальнейшем исследовании причин своего возникновения.

Дисперсионный анализ -- раздел математической статистики, посвященный методам выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента (физического, производственного, экономического эксперимента).

При этом исходят из положения о том, что существенность фактора в определенных условиях характеризуется его вкладом в дисперсию результата. Английский статистик Р. Фишер, разработавший этот метод, определил его как “отделение дисперсии, приписываемой одной группе причин, от дисперсии, приписываемой другим группам”.

Анализ производится следующим образом:

1. Группируют совокупность наблюдений по факторному признаку

2. Находят среднее значение результата и дисперсию по каждой группе.

3. Определяют общую дисперсию и вычисляют, какая доля ее зависит от условий, общих для всех групп, какая -- от исследуемого фактора, а какая -- от случайных причин.

4. С помощью специального критерия определяют, насколько существенны различия между группами наблюдений и, следовательно, можно ли считать ощутимым влияние тех или иных факторов.

Дисперсионный анализ применяется в планировании эксперимента и в ряде областей экономических исследований, где он служит, в частности, предварительным этапом к регрессионному анализу статистических данных, поскольку позволяет выделить относительно небольшое (но достаточное для целей исследования) количество параметров регрессии.

В процессе наблюдения за исследуемым объектом качественные факторы произвольно или заданным образом изменяются. Конкретная реализация фактора (например, определенный температурный режим, выбранное оборудование или материал) называется уровнем фактора или способом обработки. Модель дисперсионного анализа с фиксированными уровнями факторов называют моделью I, модель со случайными факторами - моделью II. Благодаря варьированию фактора можно исследовать его влияние на величину отклика. В настоящее время общая теория дисперсионного анализа разработана для моделей I.

В зависимости от количества факторов, определяющих вариацию результативного признака, дисперсионный анализ подразделяют на однофакторный и многофакторный.

Основными схемами организации исходных данных с двумя и более факторами являются:

· перекрестная классификация, характерная для моделей I, в которых каждый уровень одного фактора сочетается при планировании эксперимента с каждой градацией другого фактора;

· иерархическая (гнездовая) классификация, характерная для модели II, в которой каждому случайному, наудачу выбранному значению одного фактора соответствует свое подмножество значений второго фактора.

Если одновременно исследуется зависимость отклика от качественных и количественных факторов, т.е. факторов смешанной природы, то используется ковариационный анализ.

При обработке данных эксперимента наиболее разработанными и поэтому распространенными считаются две модели. Их различие обусловлено спецификой планирования самого эксперимента. В модели дисперсионного анализа с фиксированными эффектами исследователь намеренно устанавливает строго определенные уровни изучаемого фактора. Термин «фиксированный эффект» в данном контексте имеет тот смысл, что самим исследователем фиксируется количество уровней фактора и различия между ними. При повторении эксперимента он или другой исследователь выберет те же самые уровни фактора. В модели со случайными эффектами уровни значения фактора выбираются исследователем случайно из широкого диапазона значений фактора, и при повторных экспериментах, естественно, этот диапазон будет другим.

Таким образом, данные модели отличаются между собой способом выбора уровней фактора, что, очевидно, в первую очередь влияет на возможность обобщения полученных экспериментальных результатов. Для дисперсионного анализа однофакторных экспериментов различие этих двух моделей не столь существенно, однако в многофакторном дисперсионном анализе оно может оказаться весьма важным.

При проведении дисперсионного анализа должны выполняться следующие статистические допущения: независимо от уровня фактора величины отклика имеют нормальный (Гауссовский) закон распределения и одинаковую дисперсию. Такое равенство дисперсий называется гомогенностью. Таким образом, изменение способа обработки сказывается лишь на положении случайной величины отклика, которое характеризуется средним значением или медианой. Поэтому все наблюдения отклика принадлежат сдвиговому семейству нормальных распределений.

Говорят, что техника дисперсионного анализа является "робастной". Этот термин, используемый статистиками, означает, что данные допущения могут быть в некоторой степени нарушены, но, несмотря на это, технику можно использовать.

При неизвестном законе распределения величин отклика используют непараметрические (чаще всего ранговые) методы анализа.

В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия у2. Она является мерой вариации частных средних по группам вокруг общей средней и определяется по формуле:

,

где k - число групп;

nj - число единиц в j-ой группе;

- частная средняя по j-ой группе;

- общая средняя по совокупности единиц.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия уj2.

.

Между общей дисперсией у02, внутригрупповой дисперсией у2 и межгрупповой дисперсией существует соотношение:

у02 = + у2.

Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние неучтенных при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет влияние факторов группировки на среднее значение по группе.

1.2 Однофакторный дисперсионный анализ

Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факторов на рассматриваемый признак.

Однофакторный дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении более двух независимых выборок, полученных из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора, для которого по каким-либо причинам нет количественных измерений.

Для этих выборок предполагают, что они имеют разные выборочные средние и одинаковые выборочные дисперсии. Поэтому необходимо ответить на вопрос, оказал ли этот фактор существенное влияние на разброс выборочных средних или разброс является следствием случайностей, вызванных небольшими объемами выборок. Другими словами если выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, то разброс данных между выборками (между группами) должен быть не больше, чем разброс данных внутри этих выборок (внутри групп).

Пусть - i - элемент () - выборки (), где m - число выборок, nk - число данных в - выборке. Тогда - выборочное среднее -выборки определяется по формуле

.

Общее среднее вычисляется по формуле

, где

Основное тождество дисперсионного анализа имеет следующий вид:

,

Где Q1 - сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего (сумма квадратов отклонений между группами);

Q2 - сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней (сумма квадратов отклонений внутри групп); Q - общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общего среднего .

Расчет этих сумм квадратов отклонений осуществляется по следующим формулам:

В качестве критерия необходимо воспользоваться критерием Фишера:

.

Если расчетное значение критерия Фишера будет меньше, чем табличное значение - нет оснований считать, что независимый фактор оказывает влияние на разброс средних значений, в противном случае, независимый фактор оказывает существенное влияние на разброс средних значений (л- уровень значимости, уровень риска, обычно для экономических задач л=0,05).

Недостаток однофакторного анализа: невозможно выделить те выборки, которые отличаются от других. Для этой цели необходимо использовать метод Шеффе или проводить парные сравнения выборок.