Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Раздел математической логики – теория нестандартных моделей математического анализа относительно молод и недостаточно освещён в математической литературе. Поэтому мне интересно было осветить его элементы в своей квалификационной работе.

Целью работы является освещение теории стандартных операторов, исследование резольвенты и спектра оператора с помощью стандартных методов математического анализа, а затем, после введения основных понятий и предложений нестандартного анализа, с помощью нестандартных методов.

Возраст нестандартного анализа колеблется от четырёх десятков до трех сотен лет. Четыре десятка получается, если считать, что нестандартный анализ зародился осенью 1960 года, когда его основатель, Абрахам Робинсон, сделал на одном из семинаров Принстонского университета доклад о возможности применения методов математической логики к обоснованию математического анализа. Триста лет получается, если считать началом нестандартного анализа появление символов бесконечно малых dx и dy в трактате Лейбница.

Как и всякое другое научное направление, нестандартный анализ возник не на пустом месте. Основные его источники: во-первых, это идущая от классиков математического анализа традиция употребления бесконечно больших и бесконечно малых – традиция, сохранившаяся до нашего времени. Второй, менее очевидный источник – нестандартные модели аксиоматических систем, появившиеся в математической логике.

К 1960 году методы построения нестандартных моделей были давно разработаны и хорошо известны специалистам по теории моделей, одним из основателей которой был А. Робинсон. Оставалось лишь соединить их с идеями о применении бесконечно малых величин в анализе, чтобы положить начало развитию нестандартного анализа. В 1961 г. появилась статья А. Робинсона “Нестандартный анализ” в Трудах Нидерландской академии наук. В статье были намечены как основные положения нестандартного анализа, так и некоторые его приложения.