Деление четырёхугольника прямыми линиями

Поскольку ML является средней линией в треугольнике ABD, то она отсекает треугольник ALM, подобный ABD и составляющий по площади 1/4 часть площади ABD. Аналогично треугольник CNK. Значит, в сумме площади треугольников AML и CNK составляют 1/4 площади четырёхугольника ABCD. Аналогично 1/4 площади четырёхугольника ABCD составляет сумма площадей треугольников MBN и DKL. Следовательно, сумма площадей «угловых» треугольников составляет 1/4 + 1/4 = 1/2 площади четырёхугольника ABCD – половину. Но тогда на долю внутреннего четырёхугольника MNKL также остаётся половина. В результате имеем: S1 + S2 + S3 + S4 = S0.

Заметим, что средние линии четырёхугольника делят друг друга пополам, как диагонали параллелограмма MNKL (ML – средняя линия в треугольнике ABD, параллельна BD и равна её половине, то же самое NK в треугольнике BDC).

Рассмотрим тот же четырёхугольник ABCD на рис. 7. Пусть Р – точка пересечения отрезков АС и MD, а Q – точка пересечения отрезков МС и ВL. Площадь треугольника DMC SDMC = DC•hM •3•LC•hM =•3•LC•(hA + hB) = LC•hA + LC•hB = SDAL + SBLC.

В силу того, что KL составляет от DC, площадь треугольника MLK составляет от площади треугольника DMC. Аналогично площадь треугольника MNL составляет от площади треугольника ABL. Значит, площадь четырёхугольника MNKL составляет от площади SDMC + SABL, то есть, от площади всего четырёхугольника ABCD.

Оставим из четырёх прямых две: LN и RT. Из того, что BN и BR состав- ляют одну треть от АВ и ВС соответственно, а DT и DL две трети от DA и DC, следует, что треугольник BNR подобен треугольни- ку АВС, а треугольник DTL – треугольнику ADC. Значит, NR cоставляет одну треть от АС, а TL – две трети от АС, т. е. NR : TL = 1 : 2. Кроме того, NR и TL параллельны АС, а значит, параллельны друг другу. Но тогда треугольники ONR и OTL подобны, и ON : OL = OR : OT = 1 : 2. Отсюда следует, что те самые исходные прямые в четырёхугольнике АВСD делят друг друга на три равные части.