Бипримарные группы

В данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп.

Теорема. Пусть есть группа Шмидта, 2-разложимая группа, порядки и взаимно просты. Если и конечная неразрешимая группа, то , , и простое число или для некоторого простого .

Теорема. Пусть конечная группа является произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков, и пусть бипримарная группа, а 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .

Конечная группа называется -разложимой для простого числа , если силовская -подгруппа выделяется в ней прямым множителем. Нильпотентная группа -разложима для каждого . Через обозначается множество всех простых делителей порядка группы .

Для доказательства теоремы (2) нам потребуется следующая лемма(3), которая несколько уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что центр , а если подгруппа группы , то наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . Группа называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна.

Доказательство. Воспользуемся методом доказательства леммы Кегеля. Пусть наибольшая -подгруппа, содержащая и перестановочная с каждой подгруппой, сопряженной с . Предположим, что не содержится в . Это означает, что существуют элементы и такие, что не принадлежит . Поэтому собственная подгруппа в и есть -группа. Кроме того, перестановочна с каждой сопряженной с подгруппой, так как этим свойством обладает . Теперь для всех , что противоречит выбору .