Бипримарные группы

Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами. Свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, вторая - 2-разложимая. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп. Доказательство теорем и лемм.
Краткое сожержание материала:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

БИПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-33

Стародубова Н.С.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2003

Содержание

• Введение
• 1.Основные обозначения
• 2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами
• 3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта
• 4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп
• 5. Произведение бипримарной и примарной групп
• 6. Доказательство теоремы (3)
• Заключение
• Список литературы
• Введение
• В данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп.
• В третьем пункте данной курсовой работы доказываются следующие теоремы:
• Теорема. Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.
• Теорема. Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима.
• В четвертом пункте доказазываются приведенные ниже теоремы.
• Теорема. Пусть есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа, порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .
• Теорема. Пусть --- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.
• В пятом пункте доказываются следующие теоремы:
• Теорема. Пусть конечная группа является произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков, и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .
• Теорема. Пусть неразрешимая группа является произведением бипримарной подгруппы и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы есть циклическая, то изоморфна одной из следующих групп:
• 1) ;
• 2) ;
• 3) ;
• 4) ;
• 5) ;
• 6) , где --- силовская 3-подгруппа;
• 7) , порядок равен , а .
• 1. Основные обозначения

	группа
	является подгруппой группы
	является нормальной подгруппой группы
	прямое произведение подгрупп и
	подгруппа Фраттини группы
	фактор-группа группы по
	множество всех простых делителей натурального числа
	множество всех простых делителей порядка группы
	коммутант группы
	индекс подгруппы в группе

• 2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами
• Конечная группа называется -разложимой для простого числа , если силовская -подгруппа выделяется в ней прямым множителем. Нильпотентная группа -разложима для каждого . Через обозначается множество всех простых делителей порядка группы .
• Теорема Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.
• Теорема (1) обобщает известную теорему Виландта-Кегеля о разрешимости конечной группы, являющейся произведением нильпотентных подгрупп .
• Для доказательства теоремы (2) нам потребуется следующая лемма(3), которая несколько уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что --- центр , а если --- подгруппа группы , то --- наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . Группа называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна.
• Лемма Пусть и --- подгруппы конечной группы , обладающие следующими свойствами:
• 1) для всех ;
• 2) , где .
• Тогда .
• Доказательство. Воспользуемся методом доказательства леммы Кегеля. Пусть --- наибольшая -подгруппа, содержащая и перестановочная с каждой подгруппой, сопряженной с . Предположим, что не содержится в . Это означает, что существуют элементы и такие, что не принадлежит . Поэтому --- собственная подгруппа в и есть -группа. Кроме того, перестановочна с каждой сопряженной с подгруппой, так как этим свойством обладает . Теперь для всех , что противоречит выбору .
• Итак, . Значит, и --- нормальная в -подгруппа. Из условия 2) следует, что и . Так как и , то . Поэтому .
• Лемма Пусть конечная группа с -замкнутыми подгруппами и . Если , то .
• Доказательство. Так как , то для всех , . Первое условие леммы (5) выполнено. Так как выполняется и второе, то .
• Секцией группы называется фактор-группа некоторой подгруппы из . Если не содержит секций, изоморфных симметрической группе четырех символов, то называется -свободной.
• Лемма Если конечная группа не является -свободной, то существуют -подгруппы и такие, что нормальна в и .
• Доказательство. По условию в группе существует секция , изоморфная . Пусть --- нормальная в подгруппа индекса , содержащая подгруппу с индексом . По лемме Фраттини , где --- силовская -подгруппа из , Так как имеет индекс в силовской -подгруппе из , то разрешима и содержит -холловскую подгруппу . Кроме того, и .
• Лемма Конечная группа, содержащая нильпотентную -холловскую подгруппу, -разрешима.
• Доказательство. Достаточно показать непростоту группы в случае, когда делит . Предположим, что простая и делит . В -свободных группах нет нильпотентных -холловских подгрупп , отличных от -силовской. Если не -свободна, то по лемме существует ненильпотентная -подгруппа. Это противоречит теореме Виландта . Лемма доказана.
• Через обозначим произведение всех разрешимых нормальных в подгрупп.
• Лемма Пусть конечная группа и пусть разрешима, а взаимно прост с . Если в существует нилъпотентная -холловская подгруппа, то разрешима.
• Доказательство. Если --- -группа, то разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть делит и --- минимальная нормальная в подгруппа. Если , то и разрешима по индукции, поэтому разрешима и . Пусть . Тогда и имеет порядок взаимно простой с . Значит нильпотентная -холловская подгруппа из содержится в и -разрешима по лемме(2). Из минимальности следует, что разрешима. Итак, в любом случае содержит разрешимую нормальную подгруппу . Фактор-группа удовлетворяет условиям леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и . Лемма доказана.
• Теорема вытекает из следующей более общей теоремы
• Теорема Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть ...