Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Алгебраические многочлены являются простейшими функциями. Они непрерывны при любом x. Производная многочлена- так же многочлен, степень которого на единицу меньше степени исходного. Так, если степень n, то .

В школьном курсе математики рассматриваются функции f(x)=a, f(x)=logax, f(x)=sin(x) и др., изучаются их свойства, строятся графики. Однако вопрос о методах вычисления значений названных функций при заданных значениях аргумента не рассматривается. Вместе с тем, он очень важен. Познакомимся с методами приближения функций, или методами аппроксимации.

Многочлен 1-й степени: в т. х=а совпадает со значением f(x) в этой точке: P1(a)=f(a). Многочлен в т. х=а имеет то же значение производной, что и функция. Действительно, P1’(x)=f’(a), следовательно, P1’(а)=f’(a). График многочлена Р1(х) касается графика функции y=f(x) в т. М0(а,f’(a)).

Можно найти многочлен 2-й степени, а именно: , который в т. х=а будет иметь с функцией y=f(x) общее значение и одинаковые значения как первых, так и вторых производных. График многочлена Р2(х) вблизи т. х=а ещё теснее будет прилегать к графику функции y=f(x) по сравнению с графиком многочлена Р1(х).

Естественно ожидать, что многочлен, имеющий при х=а первые n производных, одинаковых с соответствующими производными функции f(x) в той же точке, при х, близких к а, будет хорошо приближать f(x). В этом случае вместо f(x) можно рассматривать указанный многочлен, а для приближённого вычисления f(x) при заданном х достаточно вычислить его значения при том же х.