Аппроксимация функций

Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции. Вычисление приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа. Определение значения функции с помощью формул Ньютона. Квадратичная сплайн-интерполяция. Среднеквадратичная аппроксимация.
Краткое сожержание материала:

16

16

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Авиа- и ракетостроение»

Специальность 160801- «Ракетостроение»

Расчетно-графическая работа

по дисциплине «Основы САПР»

Аппроксимация функций

Омск 2006

Введение

Цель работы: Ознакомиться с методами интерполяции и аппроксимации функций

Задания:

Задание 1. Построить таблицу конечных разностей. Выполнить экстраполяцию на два узла от начала и от конца таблицы.

Задание 2. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и с его помощью найти

значения функции в узлах, соответствующих полушагу таблицы.

Задание 3. Найти значение f(x) с помощью формул Ньютона интерполирования вперед и назад.

Задание 4. Выполнить квадратичную сплайн-интерполяцию (по 6 узлам). Проконтролировать полученные оценки для промежуточных узлов.

Задание 5. Считая выбранную таблицу заданной для диапазона от 0 до 2?, выполнить среднеквадратическую аппроксимацию тригонометрическим многочленом (отрезком ряда Фурье) третьей степени.

Исходные данные:

x=[11.0 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12];

y=[-0.00023,1.080087,2.064282,2.854531,3.37121,3.560925,3.402017,2.90698,2.121544,1.120452,0.000357];

1. Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции

Массив конечных разностей рассчитываем по формуле:

.

for i=1:10

for j=1:11-i

y(i+1,j)=y(i,j+1)-y(i,j);

end

end

Результат расчёта:

11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 11,0	-0,0002 1,0801 2,0643 2.8545 3.3712 3.5609 3.4020 2.9070 2.1215 1.1205 0.0004	1.0803 0.9842 0.7902 0.5167 0.1897 -0.1589 -0.4950 -0.7854 -1.0011 -1.1201 -	-0.0961 -0.1939 -0.2736 -0.3270 -0.3486 -0.3361 -0.2904 -0.2157 -0.1190 - -	-0.0978 -0.0796 -0.0534 -0.0217 0.0125 0.0457 0.0747 0.0967 - - -	0.0182 0.0262 0.0317 0.0342 0.0332 0.0290 0.0219 - - - -	0.0080 0.0055 0.0024 -0.0009 -0.0042 -0.0071 - - - - -	-0.0025 -0.0031 -0.0033 -0.0033 -0.0029 - - - - - -	-0.0006 -0.0002 0.0000 0.0004 - - - - - - -	0.0003 0.0003 0.0004 - - - - - - - -	-0.0000 0.0001 - - - - - - - - -	0.0002 - - - - - - - - - -

Экстраполяция на два узла от начала и конца таблицы с помощью многочлена Лагранжа.

n=11; % Степень многочлена

i=0;

for p=10.8:0.1:12.2

i=i+1;

x1(i)=p;

ff(i)=Lagrange(x,y,p,n);

end

for j=1:11

yy(j)=y(1,j);

end

subplot(2,1,1); plot(x,yy,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Первоначальные данные')

subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Экстраполяция')

Получим:

х	10.8	10.9	12.1	12.2
f(х)	-2,0234	-1,0701	-1,1291	-2,1535



Рис. 1. Экстраполяция на два узла многочленом Лагранжа

2. Нахождение значения приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа

Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа:

,

где х - произвольная координата на заданном интервале.

_____________________________________________________________

function [x]=Lagrange(x,y,a,n)

for i=1:n

for j=1:n

s(i,j)=1;

end

end

ss=1;

for j=1:n

for i=1:n

if j~=i

s(j,i)=(a-x(i))/(x(j)-x(i));

end

end

end

ss=prod(s,2);

L=0;

for k=1:n

L=L+y(1,k)*ss(k);

end

x=L;

_____________________________________________________________

i=0;

for p=11:0.01:12

i=i+1;

x1(i)=p;

ff(i)=Lagrange(x,y,x1(i),n);

end

subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Интерполяция многочленом Лагранжа')



Рис. 2. Интерполяция многочленом Лагранжа

3. Определение значения функции с помощью формул Ньютона

а) Интерполяционная формула Ньютона для интерполирования вперёд:

где - промежуток между последовательными узлами интерполирования, (в рассматриваемом случае промежуток постоянен);

n - степень многочлена;

.

_____________________________________________________________

function [x]=Nuton_vp(k,x,y,n);

n=round(k)+1; % Степень многочлена

if n==12

n=11;

end

t=(k-1)/1;

t1(1)=1;

for j=2:n

t1(j)=t-(j-2);

end

t2=cumprod(t1);

for j=1:n

Pn(j)=y(j,1)*t2(j)/FACTORIAL(j-1);

end

x=sum(Pn,2);

_____________________________________________________________

n=11;

i=0;

for p=11:0.05:12

i=i+1;

a=0.5+i*0.5;

x1(i)=p;

ff(i)=Nuton_vp(a,x,y,n);

end

% Построение графика

subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on

title('Интерполяция многочленом Ньютона вперёд')



Рис. 3....