Элементы векторного анализа

Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейный интеграл I и ІІ рода. Поверхностный интеграл I и ІІ рода. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению.
Краткое сожержание материала:

33

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.А. Шолохова

Факультет информатики и математики

Кафедра высшей математики

Курсовая работа по теме:

«Элементы векторного анализа»

Выполнила:

студентка IV курса группы ФИМ-М-1402

очного отделения

специальность «математика»

Шакурова Н.Н.

Проверила:

доцент Дорошкевич О.А.

Москва 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Криволинейные и поверхностные интегралы

§1. Криволинейный интеграл I рода

§2. Криволинейный интеграл II рода

§3. Поверхностный интеграл I рода

§4. Поверхностный интеграл II рода

§5. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса

Глава II. Теория поля

§1. Основные понятия теории поля

§2. Скалярное поле

Производная скалярного поля по направлению

Градиент скалярного поля

§3. Векторное поле и его циркуляция

Поток векторного поля

Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме

Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме

§4. Специальные векторные поля

§5. Оператор Лапласа. Гармонические функции

Глава III. Практическая часть.

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Для описания физической реальности математикам стало не доставать основных типов чисел (целые, рациональные, иррациональные, комплексные, …). Чтобы иметь возможность для некоторых величин указывать не только их числовое значение, но и направление, было введено понятие вектора как направленного отрезка. Следовательно, вектор - абстракция математических объектов, характеризующихся модулем и направлением. Примерами физических векторных величин являются перемещение, скорость, ускорение, напряженность электрического ил магнитного поля.

Сам термин «вектор» (от лат. vector - несущий) впервые появился у Гамильтона в 1845г. В работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат термины «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение».

После введения понятия вектора были более детально разработаны правила операций над векторами, что привело к появлению сначала векторной алгебры, а затем и векторного анализа. Векторная алгебра изучает простейшие операции над векторами. Она стала своеобразным языком аналитической геометрии. Векторный анализ изучает векторные и скалярные поля. Основными понятиями векторного анализа являются «градиент», «дивергенция», «ротор» («вихрь») и «лапласиан».

Многие результаты векторного исчисления получены Германом Грассманом и английским математиком Уильямом Клиффордом. Окончательный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели в трудах американского физика и математика Джозайн Уилларда Гиббса, который в 1901г. Опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Следует отметить, что в ясно очерченном виде векторная алгебра появилась примерно на 30 лет позже первых работ по теории кватернионов (это числа, каждое из которых определяет величину и направление в пространстве). Гиббс показал связь векторной алгебры с теорией кватернионов и алгеброй Грассмана. Он был большим энтузиастом распространения векторного исчисления в различных областях точных наук.

Понятие вектора может быть введено аксиоматически, тогда вектор будет пониматься как элемент векторного пространства. Развитием понятия «вектор» можно считать понятие «тензор».

Тензорное исчисление -- раздел математики, изучающий тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление разделяется на тензорную алгебру, входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру, и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей. Тензорное исчисление является важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии. В этой связи оно впервые систематически было развито Дж.Риччи и Т.Леви-Чивитой, его часто называли «исчислением Риччи».

Термин «тензор» еще с середины XIXв. употребляется в механике при описании упругих деформаций тел. С начала XX в. аппарат тензорного исчисления систематически используется в релятивистской физике.

Изучение векторного анализа сводится к изучению дифференциального и интегрального исчисления, включающего криволинейные и поверхностные интегралы, их основные свойства и понятия; а также теорию поля, которая является обобщением основных понятий векторного анализа.

Теория поля - крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные векторные и тензорные поля. Теория поля устанавливает и исследует связи между величинами, характеризующими поле.

Следовательно, мы можем выделить основную цель нашей работы: рассмотрение важнейших операций векторного анализа -- градиента, ротора, циркуляции и дивергенции, а также наиболее важных теорем векторного анализа -- формулы Грина, теоремы Стокса, формулы Остроградского-Гаусса.

Ученые, занимавшиеся исследованием векторного анализа:

ГАМИЛЬТОН Уильям Роуан (Hamilton William Rowan)

Гамильтон Уильям Роуан (04.08.1805-02.09.1865)-ирландский математик, член Ирландской Академии Наук. Родился в Дублине. К 17 годам он изучил "Начала" Евклида, а также сочинения И. Ньютона и П.Лапласа. Окончил Тринити - колледж Дублинского университета, в 22 года стал профессором астрономии в Дублинском университете и директором университетской астрономической обсерватории. Основные труды по механике и теории дифференциальных уравнений (Гамильтона-Остроградского-Якоби уравнение) и функциональному анализу, где важную роль играет оператор Гамильтона («набла»). Открыл вариационный принцип в механике, который был обобщен М.В.Остроградским. Гамильтон почти одновременно с немецким математиком Г. Грассманом дал точное формальное изложение теории комплексных чисел как частного случая числовых систем с несколькими единицами. Построил своеобразную систему чисел (кватернионов). Над теорией кватернионов Гамильтон трудился 8 лет. Это учение в дальнейшем было одним из источников развития векторного анализа. Гамильтон ввел термины "вектор", "ассоциативный закон". Известны работы Гамильтона в геометрии (где он занимался теорией волновых поверхностей) и алгебре. Гамильтон и Кэли разработали теорию матриц.

ГРАССМАН Герман Гюнтер (Grassmann Hermann Gunter)

Грассман Герман Гюнтер (15.04.1809--26.09.1877) - немецкий математик, занимавшийся также физикой и филологией. Родился в Штеттине. C 1842 работал в Штеттинской гимназии. В сочинении "Учение о линейном протяжении" ("Lineale Ausdehnungslehre", Lpz., 1844) дал первое систематическое построение учения о многомерном евклидовом пространстве, способствовавшее развитию векторного и тензорного исчислений. Однако из-за абстрактного изложения и необычайной терминологии сочинение было малодоступным. В области физики Грассману принадлежат работы по акустике и магнитному взаимодействию токов. Общие идеи Грассмана об абстрактных векторных пространствах привели его к открытию важного положения - возможности рассматривать цветовые ощущения как трехмерные векторы, что лежит в основе современного учения о цвете. Им установлены (1853) законы сложения цветов. Грассман составил (1875) полный словарь к гимнам Ригведы (памятнику древнеиндийской литературы).

ГИББС Джозайя Уиллард (Gibbs, Josiah Willard)

Американский физик и математик Гиббс Джозайя Уиллард (11.02.1839-28.04.1903) родился в Нью-Хейвене, штат Коннектикут. Он окончил Йельский университет, где его успехи в греческом, латыни и математике были отмечены призами и премиями. В 1863 г. Гиббс получил степень доктора философии и стал преподавателем университета; первые два года преподавал латынь и лишь затем - математику. В 1866-1869 гг. Гиббс продолжил образование в Сорбонне и Коллеж де Франс в Париже, в Берлинском и Гейдельбергском университетах. После возвращения в Нью-Хейвен возглавил кафедру математической физики Йельского университета и занимал её до конца жизни.

Разработал теорию термодинамических потенциалов, открыл общее условие равновесия гетерогенных систем правило фаз, вывел уравнения Гиббса Гельмгольца, Гиббса Дюгема, адсорбционное уравнение Гиббса. Установил фундаментальный закон статистической физики распределение Гиббса. Предложил графическое изображение состояния трехкомпонентной системы (треугольник Гиббса). Заложил основы термодинамики поверхностных явлений и электрохимических процессов. Ввел понятие адсорбции. Является также одним из создателей векторного исчисления в его современной форме ("Элементы векторного анализа", 1881- 1884).

ОСТРОГРАДСКИЙ Михаил Васильевич

Михаил Васильевич Остроградский (12.11.1801-20.12.1861) -- российский и украинский математик и механик, признанный лидер математиков Российской империи середины XIX века...