Теория вероятностей

Нахождение плотности, среднеквадратического отклонения, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции системы случайных величин. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения с заданной надежностью.
Краткое сожержание материала:

Факультет дистанционного обучения

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра экономики

Контрольная работа

по дисциплине "Высшая математика. Теория вероятности"

выполнена по методике Магазинникова Л.И "теория вероятностей"

Выполнил:

студент ФДО ТУСУР

гр.: з-828-Б

специальности 080105

Афонина Ю.В,

23 июня 2010 г.

Г. Нефтеюганск 2010г

1. Дана матрица распределения вероятностей системы (X,Y)

	X
Y	1	2	5
2	0,1000	0,2500	0,3000
4	0,1500	0,1000	0,1000

НАЙТИ: а)ряды распределений X и Y; б) m_x ;в) m_y ;г) D_x ; д)D_y ; e)cov(X,Y); ж)r_xy , округлить до 0,01 з)ряд распределения Y, если X=2; и)M[Y/X=2] , округлить до 0.01

Решение

а)ряды распределений X и Y

Суммируя по столбцам, а затем по строкам элементы матрицы, находим искомые ряды распределения:

X	1	2	5
P	0.2500	0.3500	0.4000

Y	2	4
P	0.6500	0.3500

б) m_x; в) m_y г) D_x д) D_y e) cov(X,Y) и ж) r_xy

математическое ожидание m_x ,m_y подсчитывается по одномерным рядам распределения случайных величин X и Y



m_x=1*0.25+2*0.3500+5*0.4000=2.95

m_y=2*0.6500+4*0.3500=2.7

M[X²]=1*0.25+4*0.3500+25*0.4000=11.65

M[Y²]=4*0.6500+16*0.3500=8.2

Найдем дисперсии и среднеквадратические отклонения составляющих X и Y

D[X]= M[X²]-M²[X] , D[X]=11.65-(2.95)²?2.95

D[Y]= M[Y²]-M²[Y] , D[Y]=8.2-(2.7)²?0.91

?[X]=

?[Y]=

находим cov(X,Y)

cov(X,Y)=

cov(X,Y)=7.6-2.95*2.7=-0.365

находим коэффициент корреляции

з)ряд распределения Y, если X=2 пользуясь формулой



Таким образом найдем ряд распределения Y при X=2

Y	2	4
P(Y/X=2)

и)M[Y/X=2] , округлить до 0.01

2. Дана плотность распределения вероятностей системы (X,Y)

p(x,y) =

Найти: а) константу С, б) p₁(x), p₂(y), в) m_x, г) m_y, д) D_x ,е) D_y, ж) cov(X,Y), з) r_xy, и) F(-1.5), к)M[X/Y=1]

Решение

Плотность системы случайных величин должна удовлетворять условию:

В нашем случае

; ; ;

б) Плотности р1(х),р2(у):

в) Математические ожидания:

г) Дисперсии:

ж) Ковариация

з) Коэффициент корреляции

и) Значение F(-1,5)

Функция распределения системы случайных величин

. (1)



В областях D1,D2,D3,D4 которые не пересекаются с треугольником АВО значениеP(x,y)=0

Вычисляя F(-1,5) представим двойной интеграл в виде суммы интегралов:

к) Математическое ожидание M(x|y=1)

3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью , зная , что m=60, n=49, . В ответ веси координату левого конца построенного доверительного интервала.

Решение

В нашем случае это определяется по формуле



По таблице для функции Лапласа находим t_?=1.96

Следовательно

Примет вид

Ответ: 58,04