Теория вероятностей

Определение вероятности брака проверяемых конструкций. Расчет вероятности того, что из ста новорожденных города N доживет до 50 лет. Расчет математического ожидания и дисперсии. Определение неизвестной постоянной С и построение графика функции р(х).
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский государственный университет экономики и управления

Кафедра управления

Курсовая работа

по дисциплине: Математика

На тему: Теория вероятностей

Новосибирск

2010

Задание 1

теория вероятность математическое ожидание дисперсия

Вариант 7 ;

Из 8 сотрудников отдела коммерческого банка, среди которых трое мужчин, а остальные женщины, случайным образом формируется комиссия из трех человек. Найти вероятность того, что в комиссии:

a) будет только одна женщина;

b) будут две женщины;

с) будет не менее двух женщин;

d) будет хотя бы одна женщина;

e) будут лица одного пола.

Решение

Обозначим:

событие - первый выбранный в комиссию сотрудник женщина;

событие - первый выбранный в комиссию сотрудник мужчина;

событие - второй выбранный в комиссию сотрудник женщина;

событие - второй выбранный в комиссию сотрудник мужчина;

событие - третий выбранный в комиссию сотрудник женщина;

событие - третий выбранный в комиссию сотрудник мужчина.

События , , , , , - зависимые.

а) Вероятность того, что в комиссии будет только одна женщина:

.

b) Вероятность того, что в комиссии будут две женщины:

.

с) Вероятность того, что в комиссии будет не менее двух женщин:

.

Ранее найдена вероятность .

.

.

d) Вероятность того, что в комиссии будет хотя бы одна женщина:

.

е) Вероятность того, что в комиссии будут лица одного пола:

.

Выше найдено:

, .

.

Ответ: а) ; b) ; с) ; d) ; е) .

Задание 2

В партии из 102 металлических конструкций 42 изготовлены на первом заводе, 32 - на втором, а остальные - на третьем. Известно, что первый завод производит в среднем 92 % стандартной продукции, второй - 82 %, третий - 87 %. Для контроля качества из всех имеющихся металлических конструкций наугад берут два.

1. Определить вероятность того, что по крайней мере одна из проверяемых конструкций будет иметь брак.

2. Обе проверяемые конструкции оказались стандартными. На каких заводах вероятнее всего они изготовлены?

Решение

Обозначим:

событие - обе проверяемые конструкции стандартные;

событие - по крайней мере одна из проверяемых конструкций имеет брак;

событие - обе проверяемые конструкции изготовлены на первом заводе;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на первом заводе, а вторая - на втором;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на первом заводе, а вторая - на третьем;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на втором заводе, а вторая - на первом;

событие - обе проверяемые конструкции изготовлены на втором заводе;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на втором заводе, а вторая - на третьем;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на третьем заводе, а вторая - на первом;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на третьем заводе, а вторая - на втором;

событие - обе проверяемые конструкции изготовлены на третьем заводе.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Условные вероятности:

; ;

; ;

; ;

; ;

.

События , , …, попарно несовместны и образуют полную группу, проверим:

.

1. По формуле полной вероятности:

.

Тогда искомая вероятность:

.

2. Обе проверяемые конструкции оказались стандартными, т.е. событие произошло. На каких заводах вероятнее всего они изготовлены? По формуле Байеса найдем вероятности всех девяти рассматриваемых случаев:

,

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Самая большая вероятность из полученных . Таким образом, если обе проверяемые конструкции оказались стандартными, вероятнее всего, они обе изготовлены на первом заводе.

Задание 3

По статистическим данным в городе N в среднем 87 % новорожденных доживают до 50 лет.

1. Какова вероятность того, что из 7 новорожденных в одном из роддомов города N до 50 лет не доживет:

а) ровно 5;

b) более 5;

с) менее 5;

d) хотя бы один ребенок?

2. Вычислить вероятность того, что из ста новорожденных города N до 50 лет доживет:

а) 84;

b) не менее 84;

с) не более 90;

d) не менее 82, но не более 92 детей.

Решение

1. Обозначим: событие - новорожденный не доживет до 50 лет. По условию задачи

.

тогда

.

Число новорожденных , поэтому применим формулу Бернулли:

.

а) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет ровно 5:

.

.

b) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет более 5:

, т.е. , .

.

;

;

.

с) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет менее 5.

.

.

d) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет хотя бы один ребенок:

.

2. Обозначим: событие - новорожденный доживет до 50 лет.

.

тогда

.

Число новорожденных , поэтому пользуемся приближенными формулами Лапласа.

а) Найдем вероятность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет 84:

.

По локальной формуле Лапласа:

, где .

.

Учитывая четность функции , находим

.

.

b) Найдем вероятность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет не менее 84.

или .

По интегральной формуле Лапласа:

,

где ; .

;

.

.

с) Найдем вероятность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет не более 90.

или .

;

.

.

d) Найдем вероятность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет не менее 82, но не более 92.

.

;

.

.

Ответ: 1) а) ; b) ; с) ; d) ; 2) а) ; b) ; с) ; d) .

Задание 4

Студент знает 22 вопроса из имеющихся 32 вопросов программы некоторой учебной дисциплины. На экзамене ему предлагается три наугад выбранных вопроса из программы. Рассматривается случайная величина (с.в.) - количество известных студенту вопросов среди заданных.

1. Составить ряд распределения с.в. и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в. и построить ее график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) , дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение .

4. Определить вероятности:

а) ;

b) ;

с) .

Решение

1. Найдем вероятности количества известных студенту вопросов среди заданных.

Студент не знает ни одного вопроса из заданных:

.

Студент знает один вопрос из трех заданных:

.

Студент знает два вопроса из трех заданных:

.

Студент знает все три заданных вопроса:

.

Получаем ряд распределения с.в. .

	0	1	2	3