Существование и способ построения фундаментального набора решений для систем, состоящих из одного или нескольких неравенств. Метод последовательного уменьшения числа неизвестных. Системы однородных и неоднородных произвольных линейных неравенств.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СТЕРЛИТАМАКСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ ЗАЙНАБ БИИШЕВОЙ

`Кафедра алгебры и геометрии

и методики преподавания математики

системы линейных неравенств

Курсовая работа

Садыкова Ляйсан Фаиловна

Стерлитамак 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• ГЛАВА I. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
• ГЛАВА II. ОБЛАСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
• 2.1 Решение системы линейных неравенств путем последовательного уменьшения числа неизвестных
• ГЛАВА III. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ НАБОР РЕШЕНИЙ
• 3.1 Построение фундаментального набора решений для системы, состоящей из одного неравенства
• 3.2 Существование и способ построения фундаментального набора решений
• ГЛАВА IV. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВА
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы:

Исследование теории систем линейных неравенств представляет важнейшую проблему в современной математике. Например, построение фундаментального набора решений для систем, состоящих из одного или нескольких неравенств. Фундаментальные вопросы в области теории решения систем линейных неравенств далеко не исчерпаны.

Цель работы:

Развитие теории и исследование систем линейных неравенств и методов их решения.

Задачи исследования:

1. Решение системы линейных неравенств путем последовательного уменьшения числа неизвестных;

2. Построение фундаментальной системы решений для системы, состоящей из одного неравенства;

3. Существование и способ построения фундаментального набора решений;

4. Решение неоднородной системы линейных неравенств.

ГЛАВА I. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ

Неравенства первой степени, или, как принято их называть, линейные неравенства, - это неравенства вида

ax+by+c?0

Системой линейных неравенств называют конечную или бесконечную систему вида

(1)

где и - заданные действительные числа, х_k - неизвестные, а j пробегает то или иное множество значений.

Теория систем линейных неравенств возникла под влиянием работ М. В. Остроградского по аналитической механике, работ П. Л. Чебышева по теории приближения функций и работ Г. Ф. Вороного по теории чисел. Именно, М.В. Остроградский [5] показал, что исследование равновесия системы материальных точек с освобождающими связями сводится к изучению системы вида (1). Работы М. В. Остроградского были затем продолжены специалистами по аналитической механике, которые установили ряд основных свойств систем линейных неравенств.

Далее, задача о наилучшем приближении функции, заданной таблицей, посредством многочленов вида

Где -- заданные функции, тоже сводится к исследованию конечных систем вида (1). Если же допускать, что индекс j может пробегать континуум различных значений, то и классическая задача о наилучшем приближений функции, заданной на отрезке, редуцируется к изучению системы (1). В этом направлении идеи Чебышева развивались Кирхбергером [19, 20], Е.Я. Ремезом [6], В.К. Ивановым [4] и др. Наконец, Г.Ф. Вороной пришёл к задачам, связанным с системами линейных неравенств, исследуя свойства положительных квадратичных форм с целочисленными переменными, и получил в теории систем линейных неравенств весьма глубокие результаты ([2], [3]).

В настоящее время теория систем линейных неравенств представляет собою весьма обширную и далеко разработанную главу теории неравенств, а результаты и методы этой теории имеют широкие приложения как в самой математике, так и в смежных дисциплинах.

Теория систем линейных неравенств довольно резко делится на два направления. Одно направление, которое можно назвать геометрическим, ведёт своё начало от Остроградского и Вороного и посвящено изучению геометрических свойств того выпуклого многогранника n-мерного пространства, который представляет собою решение системы (1). Здесь рассматриваются вопросы совместности системы, зависимости между составляющими её неравенствами, вопросы геометрического строения решения: размерность решения, его ограниченность или неограниченность, расположение его вершин, рёбер и граней произвольной размерности. Результаты, относящиеся к этому направлению, тесно соприкасаются с теорией систем линейных уравнений, с теорией выпуклых тел в n-мерном пространстве и с некоторыми вопросами функционального анализа ([1, 8]).

Другое направление теории систем линейных неравенств можно охарактеризовать как экстремальное. Оно ведёт своё начало от идей П. Л. Чебышева и посвящено рассмотрению различного рода экстремальных задач, относящихся к системам (1). Это направление соприкасается с общей теорией приближения функций, задачами минимакса, теорией моментов и т. д. (см. [4, 6]).

К сожалению, в математической литературе отсутствует сколько-нибудь подробное изложение всей теории систем линейных неравенств. Отсутствие обзоров по теории систем линейных неравенств повело, между прочим, к тому, что многие результаты и методы этой теории были открыты по нескольку раз. Например, именно так обстоит дело с вопросом о независимости неравенств системы (1) и с методом параметризации, который заключается в том, что изучение системы (1) заменяется изучением системы линейных уравнений

где неотрицательны. В действительности вопрос о независимости неравенств системы рассматривался уже Г. Минковским [21] в 1896 г. (правда, для простейших случаев), а метод параметризации -- Г. Фаркасом в 1901 г.

Геометрически каждое неравенство системы (1), в левой части которого встречается хотя бы один отличный от нуля коэффициент, определяет одно из двух полупространств n-мерного евклидова пространства Rⁿ, граничная плоскость которых определяется граничным уравнением содержащимся в выбранном неравенстве. Если все коэффициенты при неизвестных в некотором неравенстве системы (1) равны нулю, то множество его решений либо пусто, либо геометрически представляется всем пространством Rⁿ.

Считая пространство Rⁿ и его пустое подмножество взаимно дополнительными (несобственными) полупространствами в Rⁿ, можно говорить без всяких исключений, что каждое неравенство системы (1) определяет некоторое полупространство в Rⁿ (собственное или несобственное), причём в случае несобственного полупространства множество его граничных точек, очевидно, пусто; поэтому под граничной плоскостью несобственного полупространства понимается просто пустое подмножество.

Пересечение всех полупространств (собственных я несобственных), определяемых неравенствами системы (1), геометрически представляет совокупность её решений, причём совместность системы означает непустоту этого пересечения. Если система (1) не содержит неравенств, в которых встречались бы отличные от нуля коэффициенты при неизвестных, то множество её решений либо пусто, либо геометрически представляется всем пространством Rⁿ. Однако оба эти случая не представляют интереса при изучении систем линейных неравенств и потому исключаются в нашем исследовании. Ниже изучаются лишь системы линейных неравенств, содержащие хотя бы одно неравенство, в котором встречаются отличные от нуля коэффициенты. Для совместной системы такого рода пересечение полупространств, определяемых её неравенствами, будем называть многогранником её решений или просто её многогранником. Очевидно, этот многогранник можно рассматривать как пересечение собственных полупространств в Rⁿ, определяемых теми неравенствами системы, в которых встречаются отличные от нуля коэффициенты при неизвестных.

Приведённые здесь простые геометрические соображения позволяют каждую задачу о системе (1) формулировать как геометрическую задачу о её многограннике и, наоборот, каждую задачу о многограннике, определяемом пересечением полупространств пространства Rⁿ, рассматривать как задачу о системе линейных неравенств, определяющих эти полупространства.

ГЛАВА II. ОБЛАСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Решение любой системы линейных неравенств сводится к решению ряда систем линейных уравнений.

Пусть дана система неравенств

(1)

Окажется целесообразным наряду с ней рассмотреть соответствующую систему однородных неравенств

(2)

А также соответствующую систему линейных уравнений

(3)

Область решений системы (1) на координатной плоскости xOyобозначим через , системы (2) - через , системы (3) - через . О...