Матричный метод решения линейных уравнений. Аналитическая геометрия
Краткое сожержание материала:
Размещено на
Размещено на
Содержание
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
- Задание 4
- Задание 5
- Задание 6
- Задание 7
- Задание 8
- Задание 9
Задание 1
Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
.
Решение
1) Вычислим:
- система совместна;
Найдем x, y, z по формулам Крамера:
.
Иак, получаем ответ (3;-2;1).
2) Составляем матричное уравнение ,
где , , .
Найдем все алгебраические дополнения матрицы A:
Составляем матрицу и транспонируем ее:
.
Запишем обратную матрицу:
.
Следовательно,
.
Итак, получаем ответ (3;-2;1)
3) Решим систему методом Гаусса:
.
Тогда
Ответ: (3;-2;1).
Задание 2
По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти:
а) модуль вектора ; б) скалярное произведение векторов и ; в) проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении : , и , , , , , , .
Решение
Найдем векторы
,
,
1) .
2) .
3) Проекция вектора на вектор равна:
.
Тогда .
4) Координаты точки М, делящей отрезок l в отношении , находятся по формулам:
,
,
.
Значит, M(;;).
Задание 3
Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, найти координаты вектора в этом базисе: (2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0), (33;-4;23;3).
Решение
Векторы (2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0) образуют базис, так как:
.
Обозначим координаты вектора в новом базисе . Тогда в новом базисе будем иметь:
.
,
получим систему уравнений:
.
Вычислим:
- система совместна;
Найдем x, y, z, q по формулам Крамера:
;
.
Итак, получаем ответ .
Задание 4
Даны вершины , и треугольника.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС. Сделать чертеж.
Решение
Рисунок 1
1) ;
2) ; .
По теореме косинусов:
.
Тогда угол A равен 29,5.
3) Уравнение стороны АВ запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки А(), В():
.
Тогда .
Уравнение прямой АВ примет вид: .
Так как СН перпендикулярна АВ, то .
Тогда .
4) Так как CM - медиана, то точка M - середина AB. Значит,
, или .
Уравнение прямой CM примет вид: .
5) Уравнение стороны АС запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки А(), С():
.
Тогда .
Уравнение прямой АС примет вид:
.
Так как BK перпендикулярна АC, то
.
Тогда .
уравнение матрица предел производный
Прямые BK и CH пересекаются в точке O, найдем ее координаты. Для этого решим систему:
.
Тогда O(0;5) - точка пересечения высот исходного треугольника.
6) Прямые AB и CH пересекаются в точке H, найдем ее координаты. Для этого решим систему:
.
Тогда H().
Значит, .
7) Уравнение стороны BС запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки B(), С():
.
Тогда .
Уравнение прямой BС примет вид:
.
Cистемa линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС, примет вид:
.
Задание 5
а) Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно к этому отрезку, если , .
б) Найти координаты точки пересечения прямой
с плоскостью .
Решение
а) ;
;
- уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно вектору (отрезку ).
б) ;
t=-2
Отсюда координаты точки пересечения прямой и плоскости (-3;-4;0).
Задание 6
Найти пределы:
а) ;
б)
;
в) ;
г) .
Задание 7
а) Найти производные указанных функций:
;
б) Найти производную неявно заданной функции:
;
;
;
;
в) Найти производные функций, используя логарифмическую производную:
;
.
Задание 8
Исследовать функцию и построить ее график: .
Решение
1. Область определения функции .
2. Функция ни четная, ни нечетная; непериодическая.
3. График функции пересекает ось Oy в точке
Программная реализация методов решения системы линейных уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Решение задачи математическим методом. Блок-схема алгори...
Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элемен...
Системы линейных уравнений
Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений, характеристика методов их решения. Критерий совместности общей системы. Структура общих решений...
Решение систем линейных уравнений матричным методом
Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем. Примеры вычисления определителя матрицы. Блок-схема програ...
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Содержит теоретическое изложение курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Предназначено для студентов всех специальностей.Учебное пособие н...