Произведение двух групп

Разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп. Доказательства теорем о произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса менее или равную двум. Произведение разрешимой и циклической групп, рассмотрение лемм.
Краткое сожержание материала:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Произведение двух групп

Курсовая работа

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Закревская С.А.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1 О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

2 О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

3 Произведение разрешимой и циклической групп

3.1. Вспомогательные результаты

3.2. Доказательства теорем 1 и 2

Заключение

Список литературы

Введение

Данную работу можно рассматривать как продолжение трудов Б. Хупперта и В. Скотта. В ней приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса , произведением двух групп с циклическими подгруппами индекса 2, произведением разрешимой и циклической групп.

Рассматриваются вопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, с приведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:

Теорема 1.1 . Если и - группы с циклическими подгруппами индексов , то конечная группа разрешима.

Теорема 1.2 . Пусть - группа Шмидта, а - группа с циклической подгруппой индекса . Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 1.3 . Пусть - 2-разложимая группа, а группа имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 2.1 . Пусть конечная группа , где и - группы с циклическими подгруппами индексов . Тогда разрешима, и для любого простого нечетного .

Теорема 2.2 . Если группы и содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов , то конечная группа сверхразрешима.

Теорема 2.3 . Пусть конечная группа , где - циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа содержит циклическую подгруппу индекса . Если в нет нормальных секций, изоморфных , то сверхразрешима.

Теорема 3.1 . Пусть конечная группа является произведением разрешимой подгруппы и циклической подгруппы и пусть . Тогда , где - нормальная в подгруппа, и или для подходящего .

Теорема 3.2 . Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

Теорема 3.3 . Если - простая группа, где - холловская собственная в подгруппа, а - абелева -группа, то есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если циклическая, то есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

1. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

Доказывается, что конечная группа разрешима, если группы и содержат циклические подгруппы индексов . Приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Библ. 18 назв.

В работе Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. В. Скотт получил разрешимость группы , допустив в качестве множителей и еще так называемые дициклические группы. Диэдральные и дициклические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2. В настоящей заметке доказана

Теорема 1 . Если и - группы с циклическими подгруппами индексов , то конечная группа разрешима.

Если подгруппа нильпотентна, а в есть циклическая подгруппа индекса 2, то, как показали H. Ито и Б. Хупперт, конечная группа разрешима. Дополнением этого результата являются теоремы 2 и 3.

Теорема 2 . Пусть - группа Шмидта, а - группа с циклической подгруппой индекса . Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в подгруппу. Группой Шмидта называется ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Теорема 3 . Пусть - 2-разложимая группа, а группа имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Частным случаем теоремы 3, когда - абелева, а имеет порядок , - простое число, является теорема 8 Б. Хупперта.

Доказательства теорем 1--3 и составляют содержание настоящей заметки.

Рассматриваются только конечные группы. Все используемые определения и обозначения стандартны, их можно найти в обзоре С. А. Чунихина и Л. А. Шеметкова.

Вначале докажем несколько лемм.

Лемма 1 . Пусть в группе существует циклическая подгруппа индекса . Тогда каждая подгруппа и фактор-группа обладает, циклической подгруппой индекса . Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Лемма 2 . Пусть , - собственная подгруппа группы , - подгруппа четного порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Если , то содержит подгруппу индекса 2.

Доказательство. Если содержит инвариантную в подгруппу , то фактор-группа удовлетворяет условиям леммы. По индукции обладает подгруппой индекса 2, поэтому и в есть подгруппа индекса 2.

Пусть не содержит инвариантных в подгрупп . Тогда представление группы подстановками правых смежных классов по есть точное степени , где . Группу можно отождествить с ее образом в симметрической группе степени . Так как в силовская 2-подгруппа циклическая, то , где - инвариантное 2-дополнение. Пусть , . , и . Подстановка разлагается в произведение циклов

т. е. подстановка имеет циклов, каждый длины . Декремент подстановки равен и есть нечетное число, поэтому - нечетная подстановка. Теперь , а так как индекс в равен 2, то - подгруппа индекса 2 в группе .

Лемма 2 обобщает лемму А. В. Романовского.

Замечание. Простая группа является произведением двух подгрупп и , причем , а - группа порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Этот пример показывает, что требование отбросить нельзя.

Лемма 3 . Пусть - дважды транзитивная группа подстановок на множестве и пусть - стабилизатор некоторой точки . Тогда все инволюции из центра содержатся в .

Доказательство. Пусть . Допустим, что существует , причем . Так как транзитивна на , то . Ho , поэтому и - тождественная подстановка. Противоречие. Следовательно, фиксирует только . Теперь подстановка содержит только один цикл длины 1, а так как - инволюция, то нечетен. Но , поэтому существует силовская 2-подгруппа из с и . Если , то , отсюда и , т. е. . Теперь и из теоремы Глаубермана следует, что .

Лемма 4 . Пусть центр группы имеет четный порядок и силовская 2-подгруппа из либо циклическая, либо инвариантна в . Если - группа с циклической подгруппой индекса , то группа непроста.

Доказательство. Пусть - циклическая подгруппа в , для которой , а - максимальная в подгруппа, содержащая . Тогда . Если , то и по лемме С. А. Чунихина группа непроста. Значит, .

Допустим, что порядок нечетен. Если , то . Если , то ввиду леммы 2 и поэтому опять . Рассмотрим представление подстановками смежных классов по . Так как - максимальная в подгруппа, то - примитивная группа подстановок степени . Если - простое число, то либо разрешима, либо дважды транзитивна. Если - составное число, то, так как - регулярная группа подстановок при этом представлении, - опять дважды транзитивна. Из леммы 3 следует, что непроста.

Пусть порядок четен. Если , то непроста по лемме 2. Значит, и . Пусть - силовская 2-подгруппа из . Если инвариантна в , то инвариантна и в . Следовательно, - циклическая группа. Но не является силовской в , поэтому содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой группе . Теперь для инволюции из центра имеем , т. е. не максимальная в . Противоречие.

Следствие. Пусть группа , где группа содержит циклическую подгруппу индекса . Если - 2-разложимая группа четного порядка, то группа непроста.

Лемма 5 . Пусть группа содержит циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 2. Если - 2-разложимая группа, то группа разрешима.

Доказательство. Применим индукцию к порядку . Если , то ввиду леммы 1 фактор-группа удовлетворяет условиям леммы. По индукции, разрешима, отсюда разрешима и .

Пусть . Если - ц...