Приведение уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду

Арифметическая теория квадратичных форм, их практическое применение в приведении уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду. Самосопряженный оператор, его характеристика, использование и функции. Собственные числа и вектора.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

9

Размещено на

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УО «ВИТЕБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. П.М. МАШЕРОВА»

КАФЕДРА ГЕОМЕТРИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

КУРСОВАЯ РАБОТА

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Выполнила:

Щеглякова Анна Александровна

Научный руководитель:

доц. Подоксенов М.Н.

Витебск 2010

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора 4

2. Самосопряженный оператор 9

3. Билинейная функция и квадратичная форма 16

4. Приведение квадратичной формы к диагональному виду 18

5. Приведение уравнений кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду 23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42

ЛИТЕРАТУРА 43

ПРИЛОЖЕНИЯ 43

ВВЕДЕНИЕ

Арифметическая теория квадратичных форм берет свое начало с утверждения Ферма о представимости простых чисел суммой двух квадратов.

Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория была значительно расширена Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области.

Целью данной курсовой работы является рассмотрение квадратичной формы.

В теоретической части работы приводятся предварительные общие сведения о квадратичных формах и их практическом применении в приведении уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду.

В практической части курсовой работы представляется решение задач по заданной теме.

1. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Определение. Пусть V - векторное пространство, а A :V V - линейный оператор, действующий в нём. Число называется собственным числом или собственным значением оператора A, если существует ненулевой вектор u, такой что

Au=u. (1)

В этом случае u называется собственным вектором оператора A, соответствующим числу .

Мы рассмотрим только операторы, действующие в трехмерном евклидовом векторном пространстве V3, элементами которого являются векторы из геометрического пространства. Поэтому векторы будут обозначаться со стрелочкой. При этом всё сказанное будет верно с небольшими изменениями и для операторов, действующих в V2 (элементами которого являются векторы на плоскости). Пусть B = {i, j, k} - ортонормированный базис пространства V3. Матрицу оператора A относительно этого базиса обозначим A . Пусть (x, y, z) - координаты вектора относительно данного базиса. Тогда равенство (1) можно переписать в координатах:

= .

Если перемножить матрицы и перенести все члены в левую часть, получим систему однородных уравнений



Как известно, она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

det = 0. (3)

Раскрывая определитель, мы получим кубическое уравнение относительно , которое называется характеристическим уравнением оператора A. Пусть 1, 2, 3 - корни этого уравнения.

Подставим 1 в систему (2) и найдём ненулевое решение (x1, y1, z1). Тогда (x1, y1, z1) есть собственный вектор оператора A, соответствующий числу 1. Затем, подставляя по очереди 2 и 3, находим соответствующие им собственные векторы (x2, y2, z2) и (x3, y3, z3). При этом каждый из векторов определяется с точностью до умножения на ненулевую постоянную, т.е. вектор k(xi, yi, zi) будет решением системы (2) для = i при любом k0. Но нам достаточно иметь хотя бы одно решение для каждого из собственных чисел 1, 2, 3. Кубическое уравнение (3) обязательно имеет хотя бы одно действительное решение 1, а 2 и 3 могут быть комплексными (при этом они обязательно будут комплексно сопряжены друг к другу: 3 = ). В этом случае оператор A будет иметь только один действительный собственный вектор (x1, y1, z1). Напомним, что если a, b, c - корни кубического уравнения

 x3 + px2 + qx + r = 0,

то его можно преобразовать к виду

(x - a)(x - b)(x - c) = 0 .

Если же кубическое уравнение имеет только два действительных корня a и b, то его можно преобразовать к виду

(x - a)(x - b)2 = 0 (или (x - a)2(x - b) = 0).

В этом случае говорят, что корень b (или a) имеет кратность 2. Если кубическое уравнение имеет только один корень a, то его можно преобразовать к виду

(x - a)3 = 0.

Тогда говорят, что корень a имеет кратность 3.

Уравнение (3) тоже может иметь кратные корни. Пусть, например, корень 1 имеет кратность 1, а корень 2 - кратность 2. При подстановке 2 в (2) может получится система уравнений, имеющая ранг 2.

Тогда у оператора A будет только два собственных вектора и .

При подстановке 2 в (2) может получиться система линейных уравнений, имеющая ранг 1.

Тогда мы можем найти два неколлинеарных собственных вектора и , координаты которых удовлетворяют этой системе.

Тогда любой вектор , компланарный с и , будет собственным вектором для оператора A, соответствующим собственному числу 2. Мы можем записать, что оператор A имеет собственные векторы

(x1, y1, z1),

= k + l = (kx2 + lx3, ky2 + ly3, kz2 + lz3), k,lR.

Пусть уравнение (3) имеет один трехкратный корень 1. Тогда при подстановке его в (2) можем получить систему уравнений ранга 2, 1 или 0. В первом случае оператор будет иметь один собственный вектор , а во втором - бесконечно много собственных векторов, и все они будут иметь вид

= k + l, k,lR,

где и - два произвольных неколлинеарных вектора, координаты которых удовлетворяют системе (2). Случай, когда при подстановке трехкратного корня система (2) будет иметь ранг 0, возможен лишь тогда, когда матрица A пропорциональна единичной: A = 1E. Тогда любой вектор для оператора A будет собственным.

Найденные собственные числа и собственные векторы для оператора A называются также собственными числами и собственными векторами матрицы A. Однако, когда речь идет об операторе, надо помнить, что его матрица зависит от выбора базиса в пространстве V3 и, соответственно, собственные векторы относительно другого базиса будут иметь другие координаты. Собственные числа оператора не зависят от выбора базиса и, поэтому, коэффициенты характеристического многочлена тоже не зависят от этого.

Пример 1. Найти собственные числа и собственные векторы оператора A: V3 V3, если относительно заданного в пространстве V3 базиса он определяется матрицей

A = .

Решение. 1. Составим матрицу A - E:

A - E = . (4)

Найдем собственные числа матрицы A из уравнения det(A - E) = 0. Вычислив определитель, получим уравнение

(-8 - )(2 - 3 - 4) = 0 .

Отсюда находим корни 1= 8, 2 = 4, 3 = -1.

2. Подставим в матрицу (4) значение 1= 8:

A + 8E = .

Составим однородную систему уравнений по этой матрице:

Отсюда находим единственное решение y = z = 0. Получается, что в качестве вектора нужно взять нулевой? Нет! У нас отсутствует какое-либо ограничение на переменную x. Поэтому можем взять (1, 0, 0).

3. Подставим в матрицу (4) значение 2 = 4 и по получившейся матрице составим однородную систему линейных уравнений:

A 4E = ,

Второе и третье уравнения пропорциональны. Поэтому одно из них можем вычеркнуть. Из оставшихся уравнений находим, что x = 0, y = z. Поэтому в качестве второго собственного вектора можем взять (0, 1, 1).

4. Для 3 = -1 аналогично находим (0, 1, 1).

Ответ: 1= 8, (1, 0, 0);

2 = 4, (0, 1, 1);

3 = -1, (0, 1, 1).

Во второй главе будет разобран еще один пример решения подобной задачи, причем, в этом примере одно из собственных чисел будет иметь кратность 2.

уравнение канонический квадратичный вектор

2. Самосопряженный оператор

Определение. Оператор B: V3 V3 называется сопряженным к оператору A: V3 V3, если для любых векторов , V3 выполнено

 (A)· = · (B).

(точка обозначает скалярное произведение векторов). Тогда обозначаем B =A*. Оператор A называется самосопряженным, если A*= A.

Если A - матрица оператора A относительно ортонормированного базиса {i, j, k}, то матрицей оператора A* относительно того же базиса будет AT. Поэтому для матрицы самос...