Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Задача 1.16

Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее двумя методами:

1) методом Крамера,

2) методом Гаусса,

Решение:

Система является совместной, если определитель матрицы, составленной из ее коэффициентов, не равен 0

1. Метод Крамера.

Где ? - определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы; ?1 ,?2 ,?3 - определители матриц, составленных из коэффициентов системы при замене соответственного столбца на столбец свободных коэффициентов.

? = - 10



Отсюда

2. Метод Гаусса. Основан на преобразованиях, которые не изменяют множество решений системы:

- перестановка уравнений;

- умножения уравнения на число, отличное от нуля;

- замена уравнения на сумму этого уравнения и другого из этой же системы.

Посредством этих преобразований приводим систему к треугольному виду.

Умножаем второе уравнение на 3 и складываем с первым. Умножаем первое уравнение на 2, третье - на (- 3) и складываем их

Умножаем третье уравнение на 4 и складываем со вторым.

Мы привели систему к треугольному виду. Отсюда получаем решение:

Задача 2.16

Найти общее и одно частное решение системы линейных уравнений

Решение:

Найдем ранг матрицы



- вычтем из третьей строки первую, затем умножим вторую строку на 2 и вычтем из нее первую;

- вычтем из третьей строки вторую.

Ранг матрицы равен r = 2 < 3, следовательно выполняется условие существования ненулевого решения однородной системы уравнений.

Выберем в качестве базисного минора

Запишем укороченную систему

В качестве базисных выберем неизвестные х1 и х2. Тогда х3, х4, х5- свободные неизвестные. Полагая х3 = с3, х4 = с4, х5 = с5, получим

Таким образом, общее решение будет

Частное решение найдем, придав сi любые значения, например 1. Тогда частное решение будет

Задача 3.16

Даны координаты вершин пирамиды АВСD.

1. Найти модуль вектора

2. Найти площадь грани АВС

3. Найти длину высоты, опущенной из вершины D.

4. Найти косинус угла между векторами и

5. Записать уравнение плоскости АВС

6. Записать уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

, , ,

Решение

1. Найти модуль вектора

2. Найти площадь грани АВС. Площадь треугольника АВС численно равна половине модуля векторного произведения любых двух сторон треугольника АВС:



Найдем векторное произведение.

3. Найти длину высоты, опущенной из вершины D

Найдем уравнение плоскости АВС. Для этого подставим координаты точек А, В, С в общее уравнение плоскости и решим получившуюся систему уравнений

Решим систему методом Гаусса

В результате имеем уравнение плоскости АВС



Длину высоты находим как расстояние от точки D до плоскости АВС по формуле

4. Найти косинус угла между векторами и

Косинус угла между векторами находим как скалярное произведение этих векторов, деленное на произведение их длин

5. Записать уравнение плоскости АВС

Уравнение плоскости АВС нашли в п.3

6. Записать уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

Уравнение высоты находим из тех соображений, что ее направляющий вектор должен быть перпендикулярен плоскости, а, следовательно, совпадать с нормалью. Вектор нормали к плоскости запишем из уравнения плоскости: (- 1, 5, 4)

Тогда уравнение высоты, т.е. прямой, перпендикулярной плоскости с нормалью (- 1, 5, 4) и проходящей через точку будет (исходя из общего уравнения прямой)

Задача 4.16

Даны две смежные вершины квадрата А(1, - 3), В(2, 1). Составить уравнения его сторон.

Решение:

Составим сначала уравнение стороны АВ, исходя из общего уравнения прямой

Прямые АD и BC перпендикулярны прямой АВ, следовательно, их угловой коэффициент будет равен

, а уравнения этих прямых будет

АD: BC:

Свободные члены уравнений найдем, подставив в уравнения координаты точек:



Уравнения, следовательно, будут

АD: BC:

Уравнение прямой СD будет иметь угловой коэффициент такой же как и уравнение прямой АВ и будет иметь вид

Чтобы найти свободный член, найдем длину стороны квадрата АВ

Найдем расстояние l от прямых АВ и CD до начала координат. Для этого найдем координаты точек пересечения этих прямых и перпендикуляра, опущенного из начала координат:

Тогда расстояние до начала координат будет



Так как для прямой АВ b = - 7 , то

Расстояние между прямыми АВ и CD равно стороне квадрата. Следовательно, расстояние от прямой CD до начала координат, можем найти:

Будем учитывать, что сторона СD может лежать как с одной стороны от стороны АВ, так и с другой, поэтому задача решается неоднозначно.

Но , откуда

В результате имеем уравнение прямой СD

Ответ: Уравнения сторон квадрата будут:АВ:; АD: ; BC: ; СD или

Задача 5.16

Привести уравнение кривой второго порядка f(x, y) к каноническому виду. Определить вид кривой и построить ее график.

Решение:

Выделим полные квадраты

Т.е. мы получили параболу, ось которой параллельна оси у, а вершина лежит в точке

Задача 6.16

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

а)

Имеем неопределенность типа . Для устранения ее разделим числитель и знаменатель на х

б)

уравнение векторный тригонометрический функция

Для устранения неопределенности умножим числитель и знаменатель на сопряженные множители

в)

Разложим числитель и знаменатель на множители

г)

С помощью тождественных преобразований приведем предел к первому замечательному пределу

д)

С помощью тождественных преобразований приведем выражение ко второму замечательному пределу

Задача 7.16

Исследовать функцию y = f(x) на непрерывность, найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

а)

Найдем пределы справа и слева от предполагаемых точек разрыва

Т.е. функция имеет разрыв первого рода в точке х = 4

б)

Функция имеет разрыв в точке х = - 5/2

Найдем пределы справа и слева от предполагаемых точек разрыва

Функция имеет разрыв второго рода

б)

Найдем корни знаменателя.

Следовательно, функция имеет разрыв в точках х = 3 и х = - 1. Найдем пределы функции справа и слева в этих точках



Т.е. функция имеет в этих точках разрывы второго рода

Задача 8.16

Дано комплексное число z. Найти:

а) модуль числа z, аргумент z;

б) записать z в тригонометрической и показательной формах;

в) найти все значения

г) изобразить точками плоскости числа z и

z =- 64i

Решение:

а) модуль числа z r = 64, аргумент числа z

б) Тригонометрическая форма числа z:

Показательная форма числа z

в) найдем все значения

Применим формулу Муавра

При k = 0

При k = 1

При k = 2

Изобразим корни уравнения на рисунке:

Размещено на

Список литературы

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М., 1997 г.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. М., 1998 г.

Размещено на Allbest.ru

...