Положительные и ограниченные полукольца

Основные понятия теории полуколец. Определение полукольца. Примеры. Дистрибутивные решетки. Идеалы полуколец. Положительные и ограниченные полукольца. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец. Основные свойства полуколец.
Краткое сожержание материала:

2

Выпускная квалификационная работа

Положительные и ограниченные полукольца

Содержание

Введение 3

Глава 1. Основные понятия теории полуколец 4

1.1. Определение полукольца. Примеры. 4

1.2. Дистрибутивные решетки 5

1.3. Идеалы полуколец 6

Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца. 7

2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец 7

2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец 7

Библиографический список 16

Введение

Теория полуколец - это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.

Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.

Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая - основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.

Глава I. «Основные понятия теории полуколец»

1.1. Определение полукольца. Примеры

Определение полукольца: Непустое множество S с бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (S,+) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

· Ассоциативность: ;

· Коммутативность: ;

· Существование нейтрального элемента: .

2. (S,·) - полугруппа:

· Ассоциативность: ;

3. Умножение дистрибутивно относительно сложения:

· левая дистрибутивность: а(в+с)=ав+ас;

· правая дистрибутивность: (а+в)с=ас+вс.

4. Мультипликативное свойство 0:

· .

Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.

Полукольцо S называется коммутативным, если операция в нем коммутативна: .

Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):

Примеры полуколец:

1. <N,+,·>, где N - множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;

2. <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;

3. Двухэлементные полукольца:<Z₂ ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);

4. Множество матриц с элементами из полукольца N и операциями + и ;

5. Множества N, Z, Q⁺, Q, R⁺, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум и минимум двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.

Полукольцо с импликацией называется мультипликативно (аддитивно) сократимым.

Полукольцо, в котором выполняется равенство , называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным.

1.2. Дистрибутивные решетки.

Пусть L - произвольное множество. Введем на L отношение положив,

.

Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным множеством.

Отношение на множестве L является отношением порядка.

Пусть M - непустое подмножество частично упорядоченного множества L . Нижней гранью множества M называется такой элемент , что для любого . Нижняя грань m множества M называется точной нижней гранью, если , где n - произвольная нижняя грань множества M. Двойственным образом определяется точная верхняя грань.

Частично упорядоченное множество L называется решеткой, если любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани; решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивные законы:

Кроме этого определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система L с двумя бинарными операциями сложения + и умножения • называется решеткой, если (L, +) и (L,•) являются идемпотентными коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения

,;

Решетка называется дистрибутивной, если для любых , ограниченной, если она имеет 0 и 1.

1.3. Идеалы полуколец.

Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца S, если для любых элементов a, bI, sS элементы a+b и sa (as) принадлежат I.

Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца S называется собственным. Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S, называется главным (главным левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS, односторонние Sa и aS - левый и правый соответственно. Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так .

Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом, если влечет M=A или A=S для каждого идеала A .

Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:

1. {0} - нулевой идеал;

2. S - идеал, совпадающий со всем полукольцом;

3. Идеал на полукольце : ;

4. Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a: .



Глава II «Положительные и ограниченные полукольца»

2.1. Определение, примеры и основные свойства

Полукольцо S с 1 называется положительным, если для любого элемента а S элемент а+1 обратим в S, т.е..

Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:

1. ограниченные дистрибутивные решетки;

2. полукольца непрерывных R⁺ - значных функций;

3. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

Полукольцо S называется ограниченым, если для любого выполняется . Ограниченное полукольцо - частный случай положительного полукольца.

Примеры ограниченных полуколец:

1. ограниченные дистрибутивные решетки;

2. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:

I. Для полукольца S следующие условия равносильны:

1. S - положительное полукольцо;

2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b S

(a+b M) (a M & b M).

Доказательство:

12. Пусть для произвольных и максимального правого идеала M. Предположим, что , тогда и для некоторых и . Имеем:

.

В левой части последнего равенства - элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.

21. Пусть выполнено 2 и с