Кольца и полукольца частных
Краткое сожержание материала:
3
Содержание
- Введение
- Глава 1.Построение классического полукольца частных
- Глава 2.Построение полного полукольца частных
- Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных
- Библиографический список
Введение
В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.
В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.
Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.
Непустое множество с определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:
A1. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.
1) ;
2)
3)
А2. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.
1) ;
2)
3)
А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:
, .
А4. .
Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.
Глава 1.
Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:
Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .
Будем считать пары и эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.
Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.
Определение1. Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .
Обозначим через множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.
Утверждение1.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.
Пусть - делитель нуля, т.е. для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым. ^
Пусть - коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение на : для всех и .
Предложение1. Отношение является отношением эквивалентности на .
Покажем, что является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.
1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца ;
2. Симметричность: ;
3.Транзитивность: Таким образом, отношение является отношением эквивалентности на .
Полукольцо разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении . Обозначим класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве всех классов эквивалентности:
т.к. для , , выполнено отсюда т.к. получаем и поскольку то следовательно .
Покажем корректность введённых операций:
Пусть , , тогда
^
Теорема1. - коммутативное полукольцо с 1. .
Доказательство.
Чтобы доказать, что множество всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:
сложение: для и
1.
2.
Так как правые части равны, то левые части тоже равны:
3. покажем, что для .
Так как
Класс является нейтральным по +:
Из равенства тогда .
Для составляет отдельный класс, играющий в роль нуля.
умножение: для и
1.
2.
Из равенства правых частей следует, что
3. покажем, что для .
Пусть
Класс является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства тогда .
4. умножение дистрибутивно относительно сложения:
Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:
Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.
Таким образом, доказано, что является коммутативным полукольцом с 1.
Полукольцо называется классическим полукольцом частных полукольца .^
Глава 2
Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы неотрицательных целых чисел. Его область определения - идеал , и он переводит в , где . Аналогично, дробь определена на идеале и переводит в . Эти две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу , поскольку та и другая дробь переводят в . Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .
Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа - плотные идеалы.
Определение2. Идеал коммутативного полукольца называется плотным, если для и выполняется равенство тогда и только тогда, когда .
Свойства плотных идеалов полукольца :
10 - плотный идеал.
Доказательство:
Пусть для выполнено . Положим , тогда . Таким образом - плотный идеал по определению. ^
20 Если - плотный идеал и , то идеал плотный.
Доказательство:
Если - плотный идеал, то для из равенства следует . Пусть для выполнено . Так как по условию возьмём . Тогда т.к. - плотный идеал получаем отсюда . Таким образом - плотный идеал по определению. ^
30 Если и - плотные идеалы, то и - так же плотные идеалы.
Доказательство:
Положим для выполняется . Пусть , где , . Элемент т.к. , тогда верно равенство отсюда , т.к. - плотный идеал имеем , , и - плотный, . Таким образом - плотный идеал.
Пусть , тогда по определению идеала: . С другой стороны значит . Тогда по 20 - плотный идеал. ^
40 Если , то 0 не является плотным идеалом.
Доказательство.
Пусть . Для и выполнено отсюда 0 не является плотным идеалом. ^
Определение3. Дробью назовём элемент , где - некоторый плотный идеал. ( - сокращение от - гомоморфизм, в данном случае: - гомоморфизм )
Таким образом, - гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого для и .
Введём так же дроби , положив и для .
Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:
пусть и тогда
,
, .
Покажем, что является идеалом, где т.е. сохраняются операции:
1. Если , то .
Пусть , , тогда .
2. Если и , то . По условию .
Так как - коммутативное полукольцо, то .
. Таким образом, - идеал.
Покажем, что идеал является плотным: надо доказать, что плотный идеал - , т.е. .
По определению сложения и умножения , т.е. содержит плотный идеал значит, по свойству 20 идеал является плотным.
Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу с нулём и полугруппу с единицей. То есть образуют полукольцо.
Доказательство:
1. По определению сложения и умножения:
, .
,
2. Коммутативность:
3. Ассоциативность:
4. Нейтральный элемент.
5. Дистрибутивность:
Правосторонняя дистрибутивность аналогично.
Таким образом, дроби образуют полукольцо.
Определение4. Будем писать если и согласованы на пересечении своих областей о...
Расширение кольца с помощью полутела
Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теор...
Положительные и ограниченные полукольца
Основные понятия теории полуколец. Определение полукольца. Дистрибутивные решетки. Идеалы полуколец. Положительные и ограниченные полукольца. Определе...
Редуцированные полукольца
Основные понятия, леммы и предложения. Доказательство основной теоремы. Полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции...
Положительные и ограниченные полукольца
Основные понятия теории полуколец. Определение полукольца. Примеры. Дистрибутивные решетки. Идеалы полуколец. Положительные и ограниченные полукольца....
Коммутативная алгебра
Во втором томе подробно исследуются кольца специальных типов: кольца нормировании, кольца полиномов и степенных рядов и локальные кольца. Книга может...