Показательная функция: свойства и график

Рассмотрение и анализ основных свойств показательной функции: решение задач, способы построения графиков. Понятие и примеры применения гиперболических функций, их роль в различных приложениях математики. Способы нахождения области определения функции.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Введение

показательный гиперболический график

В данной курсовой работе будет рассмотрена показательная функция.

Первая часть данной работы будет рассматриваться понятие показательной функции и ее графики.

Во второй части рассматривается свойства показательной функции.

В третей части - решение примеров и задач показательной функции.

Изучение темы «Показательная функция», является важнейшим этапов в изучении всех видов функций.



Понятие показательной функции

Определение 1.1. Показательной функцией называется функция вида , где основание а-- положительная константа.

Рис.

Рис.

В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.

Пусть - последовательность рациональных чисел, сходящихся к x . Определим число как предел

Показательной функцией с основанием a называется функция, принимающая значения ,

Рис.

Данный предел не зависит от выбора последовательности , приводящей к числу x . Областью определения показательной функции является вся числовая ось. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a > 1 и монотонно убывает при a < 1 Функция никогда не обращается в нуль, но имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

Рис.



Особое значение в приложениях имеет показательная функция, в качестве основания которой используют число e , определяемое как

Численно оно равно e = 2,71828182845904523536...

Определенная так функция называется экспоненциальной или просто экспонентой и обозначается

Показательная функция, экспоненциальная функция, важная элементарная функция

f (z) = ez,

обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) Показательная функция определяется соотношением

;

Очевидно, что = 1; при n = 1 значение Показательная функция равно е - основанию натуральных логарифмов. Показательная функция обладает следующими основными свойствами:

и



при любых значениях z1 и z2, кроме того, на действительной оси (рис.) Показательная функция ex > 0 и при n ® ? возрастает быстрее любой степени х, а при х ® - ? убывает быстрее любой степени 1/x:

,

каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к Показательная функция, является логарифмическая функция: если w =, то z = lnw.

Рассматривается также Показательная функция при основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются Показательная функция 2x, (1/2) x и т.д.]. Показательная функция az связана с Показательная функция (основной) соотношением

=

Показательная функция является целой трансцендентной функцией. Она допускает следующее разложение в степенной ряд:

, (1)

сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением Показательная функция

Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:

= =(cosy + isiny), (2)



связывающую Показательную функцию с тригонометрическими функциями. Из неё вытекают соотношения:

, .

Функции

=ch y, - i = sh y

называются гиперболическими функциями, обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.

Из соотношения (2) следует, что Показательная функция (комплексного переменного z) имеет период 2pi, то есть или = 1. Производная Показательная функция равна самой функции: ()" =

2. Свойства показательной функции

Рис.

Таблица

Свойства показательной функции	y = , a > 1	y = , 0< a < 1
1.Область определения функции
2.Область значений функции
3.Промежутки сравнения с единицей	при x > 0, > 1	при x > 0, 0< < 1
	при x < 0, 0< < 1	при x < 0, > 1
4.Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5.Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6.Экстремумы.	Показательная функция экстремумов не имеет.
7.Асимптота	Ось Ox является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях x и y;

3. Примеры:

Пример № 1. (Для нахождения области определения функции). Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:

Пример № 2. (Для нахождения области значений функции). На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:

Рис.



Пример № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей). Каждую из следующих степеней сравните с единицей:

Пример № 4. (Для исследования функции на монотонность). Сравнить по величине действительные числа m и n если:

Пример № 5. (Для исследования функции на монотонность). Сделайте заключение относительно основания a, если:

В одной координатной плоскости построены графики функций:



y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Рис.

Рис.

Таблица. Вывод:

при x < 0	чем больше значение основания степени, тем ближе к оси Ox располагается график показательной функции;
при x = 0	графики показательных функций пересекаются в одной точке (0;1);
при x > 0	чем больше значение основания степени, тем дальше от осиOx располагается график показательной функции.

Таблица. Вывод:

при x < 0	чем меньше значение основания степени, тем дальше от оси Ox располагается график показательной функции;
при x = 0	графики показательных функций пересекаются в одной точке (0;1);
при x > 0	чем меньше значение основания степени, тем ближе к осиOx располагается график показательной функции.

В одной координатной плоскости построены графики функций:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Заключение

В данной курсовой работе по теме «Показательная функция» мною были рассмотрены ее понятие, основные свойства и графики.

Тема показательной функции, в общем, является одной из часто используемых в вычислениях и решении различных задач.

В работе были приведены примеры и задания, разные по сложности и по содержанию.

Курсовая работа, по моему мнению, выполнена в рамках методики преподавания математики и может быть использована как наглядное пособие для студентов дневного и заочного отделений.

Список литературы

1.Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа» учебник для 10-11 кл. общеобр. учреждений.М.: Просвещение, 2001.

<...