Оцінка для найкращих наближень деяких лінійних комбінацій аналітичних функцій

Характеристика основних класів математичних функцій. Роль задачі про апроксимацію (наближення) більш складніших об’єктів менш складнішими. Особливості встановлення та розрахунку асимптотичні рівності відхилень найкращих наближень лінійних комбінацій.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

Кам'янець-Подільський національний університет

Кафедра диференціальних рівнянь та прикладної математики

ДИПЛОМНА РОБОТА

«Оцінка для найкращих наближень деяких лінійних комбінацій аналітичних функцій»

студентки 52 групи фізико-математичного факультету

спеціальності №7.010103 (Педагогіка і методика середньої освіти. Математика і основи інформатики)

Швець Оксани Ростиславівни

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри диференціальних рівнянь та прикладної математики

Сорич В. А.

Кам'янець-Подільський, 2009

Зміст

• §1. Перелік умовних позначень 3
• §2. Короткий огляд результатів та історичні відомості. Постановка задачі. 6
• §3. Класи функцій 154
• §4. Відношення порядку для -похідних 231
• §5. Оцінка для найкращих наближень деяких лінійних комбінацій аналітичних функцій 26
• Висновок 59
• Список використаних джерел 61

§1. Перелік умовних позначень

-- квантор загальності: “для кожного” “для будь-якого”;

-- квантор існування: “існує”;

-- елемент х належить множині А;

-- елемент х не належить множині А;

-- об'єднання множин А і В;

-- перетин множин А і В;

-- множина А міститься в множині В;

N-- множина всіх натуральних чисел;

Z -- множина всіх цілих чисел;

R -- множина всіх дійсних чисел;

C -- множина всіх комплексних чисел; -- точна верхня межа значень функціонала F на множині A;

-- суттєва точна верхня межа;

sign -- величина, що дорівнює 1, якщо ,дорівнює -1 якщо і дорівнює 0, якщо ;

-- норма в лінійному нормованому просторі;

-- одинична куля в просторі ;

-- одинична куля в просторі ;

-- множина вигляду ;

С -- простір неперервних ?періодичних функцій з нормою ;

-- простір ?періодичних вимірних і суттєво обмежених (при ) або сумовних у р?ому степені функцій з нормою

;

-- сума Фур'є функції ;

-- тригонометричний поліном порядку п;

-- відхилення від функції її часткових сум Фур'є ;

-- найкраще наближення функції тригонометричними поліномами порядку п-1 у метриці простору ;

-- найкраще наближення множини тригонометричними поліномами порядку п-1 у метриці простору ;

-- наближення множини частинними сумами Фур'є порядку п-1 у метриці простору ;

-- ядра Бернуллі ;

-- ядра Вейля?Надя: ;

-- ядра Пуассона;

-- узагальнені ядра Пуассона: ;

-- бігармонічні ядра Пуассона:

;

 -- ядра Неймана: ;

-- ядра вигляду: ;

-- ядра вигляду: ;

-- ядра вигляду:

;

-- згортка функцій і : ;

-- -та похідна функції ;

-- похідна функції ;

-- інтервал Пуассона функції ;

-- ?інтервал функції ;

-- повний еліптичний інтеграл першого роду:

;

-- класи Соболєва: ;

-- класи Вейля?Надя:

;

-- класи вигляду: ;

-- класи вигляду: ;

-- класи неперервних функцій вигляду: ;

§2. Короткий огляд результатів та історичні відомості. Постановка задачі

Майже у всіх галузях математики важливу роль відіграють задачі про апроксимацію (наближення) більш складніших об'єктів менш складнішими. Теорія наближень має справу в основному з наближенням окремих функцій чи класів функцій за допомогою заданих підпросторів, що складаються із функцій, що є в деякому розумінні більш простими ніж ті, що апроксимуються.

Для періодичних функцій та їх класів найчастіше в ролі таких підпросторів вибирають множини тригонометричних поліномів заданого порядку п, або деякі підмножини цієї множини.

Найпростішим таким тригонометричним многочленом порядку п, що може відтворювати функцію , природно вибрати частинну суму порядку п ряду Фур'є функції , її називають сумою Фур'є функції і позначають:

.(1)

Якщо , то за величину похибки заміни сумою Фур'є беруть норму їх різниці в просторі С, тобто величину

(2)

Поряд із сумами Фур'є в якості наближуючиx агрегатів використовуються і інші тригонометричні многочлени. Це викликано тим, що в окремих випадках суми Фур'є функції збігаються до неї дуже повільно, а то і взагалі розбіжні, навіть якщо наближаюча функція вибрана із простору С. Приклади неперервних функцій, ряди Фур'є яких розходяться в окремих точках, були відомі ще Дюбуа?Реймонду (1876р.). Вказаний факт націлює знаходити способи побудови послідовностей таких наближаючи поліномів, які вже рівномірно збігаються до функції на всьому просторі С.

Зрозуміло, що найбільш вдалою в розумінні швидкості збіжності до є послідовність операторів , яка кожній функції ставить у відповідність її многочлен найкращого наближення , тобто многочлен, що задовольняє умову

(3)

в метриці простору .

Але, на жаль, оператори на всьому просторі (зокрема на С) не є лінійними. Це в значній мірі ускладнює їх побудову, дослідження, а отже, і використання.

Вибір сум Фур'є в якості наближаючих поліномів часто є в деякому розумінні оптимальним або ж близьким до нього. Перші результати оцінок відхилень сум Фур'є від заданих неперервних функцій були отримані ще в період становлення теорії наближення функцій. В 1909 р. А. Лебег довів, що

,(4)

де -- найкраще наближення функції тригонометричними поліномами степеня не вищого за в рівномірній метриці С, а -- константи Лебега:

.(5)

В поєднанні з теоремами Джексона про оцінки величин нерівність Лебега (4) містить велику кількість ранніх результатів по оцінках величин та не зменшує свого значення і в теперішній час: вона є точним по порядку та зручна в застосуваннях. Наприклад, якщо функція має похідну порядку r, обмежену, припустимо, одиницею, то (див., напр., [6, с. 102], і тоді з (4) отримаємо

.(6)

Нерівності Лебега (4) на всьому класі С неперервних функцій є точними по порядку. Більше того, в ньому константу зменшити неможливо,тобто у множині С нерівність (4) є асимптотично точною. В той же час існують важливі підмножини неперервних функцій, для яких співвідношення (4) виявляється неточним навіть по порядку.

Щодо просторів , то ще на початку ХХ століття було відомо, що при оператори, які відображають довільну функцію в її частинну суму Фур'є є рівномірно обмеженими. Звідси випливає: ,

,(7)

де -- величина найкращого наближення функції тригонометричними многочленами в метриці простору .

В теорії наближення розглядають поведінку величин на деякій множині функцій . Позначимо . Знайти точне значення величини при кожному натуральному п надзвичайно складна задача, тому намагаються встановити асимптотичну поведінку цієї величини при . Початок розв'язування задач більш глибокого дослідження величин відноситься до 30 ? 40-х років ХХ століття та пов'язане з іменами А. М. Колмогорова та С. М Нікольського. В 1935 р. А. М. Колмогоров [1] розглянув величину

,

і показав, що при

де а -- величина рівномірно обмежена по п. Потім Пінкевич [2] довів, що дана рівність залишиться в силі і у випадку класу , де і не обов'язково ціле, тобто для класів функцій, диференційованих по Вейлю. Нікольський С. М. поширив да...