Студенческий сайт КФУ - ex ТНУ » Учебный раздел » Учебные файлы »Математика

Верхні межі відхилень функцій від їх гармонійних інтегралів Пуассона

Тип: курсовая работа
Категория: Математика
Скачать
Купить
Лінійні методи підсумовування рядів Фур'єю, приклади трикутних та прямокутних методів. Підсумовування методом Абеля. Наближення диференційованих функцій інтегралами Абеля-Пауссона. Оцінка верхніх наближень функцій на класах в рівномірній матриці.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Курсова робота

З теми: Верхні межі відхилень функцій від їх гармонійних інтегралів Пуассона

ВСТУП

Робота присвячена дослідженню питань наближення функцій, що задані на всій дійсній осі, за допомогою деяких Л-методів підсумовування рядів Фур'є (зокрема, операторів Абеля-Пуасона) в рівномірній метриці.

Актуальність теми. О.І. Степанцем запропонований новий підхід до класифікації періодичних функцій, в основу якого покладено поняття - похідної. Внаслідок цього були введені множини та - множини відповідно сумовних та неперервних -періодичних функцій.

На теперішній час у галузі теорії апроксимації розроблено багато методів наближення тригонометричними поліномами у просторах періодичних функцій, серед яких існують як і лінійні методи, що побудовані на базі сум Фур'є, так і нелінійні методи. Систематичні розробки в даному напрямку почали проводитися у 80-х роках минулого століття під впливом робіт С.М. Нікольського, В.К. Дзядика, М.Т. Корнійчука, Б. Надя та інших вчених математиків. Сьогодні дослідження, пов'язані із лінійними методами, займають широку область, яка містить ряд постановок задач та глибоких результатів. Серед лінійних слід виділити такі, що визначаються числовими матрицями (методи Фейєра, Валле-Пуссена, Зігмунда, Рогозинського, Ріска, тощо), і такі, що визначаються множиною функцій (методи наближення гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона). Кожен з цих методів став важливою ланкою в галузі теорії апроксимації.

Апроксимативні властивості методу наближення гармонійними інтегралами Пуассона на інших класах диференційовних функцій досліджувались також в роботах К.М. Жигалло і Ю.І. Харкевича.

Мета і завдання дослідження.

Метою дипломної роботи є знаходження асимптотичних рівностей для верхніх меж відхилень операторів Абеля-Пуассона та бігармонійних операторів Пуассона на класах -диференційовних функцій, заданих на всій дійсній осі.

Завданням є оцінити верхні межі наближень функцій на класах їх інтегралами Абеля-Пуассона в рівномірній метриці.

Методи дослідження. В курсовій роботі використовуються загальні методи математичного аналізу в поєднанні з методами, які були розроблені О.І. Степанцем, О.П. Тіманом.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи носять теоретичний характер. Методика їх отримання може бути використана при дослідженні питань теорії наближень періодичних функцій і функцій, заданих на дійсній осі.

1. ЛІНІЙНІ МЕТОДИ ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДІВ ФУР'Є

В результаті внутрішнього розвитку математики та потреб практики виникла нова галузь прикладної математики - теорія наближення функцій. В рамках цієї теорії розглядається одне з фундаментальних понять математики - наближення або апроксимація складних математичних об'єктів більш простими та зручними. Саме ідея апроксимації є домінуючою в питаннях зв'язку теорії та практики, що, безперечно, стимулюватиме розвиток теорії наближення функції в подальшому.

Одним із напрямів теорії апроксимації є наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами. На теперішній час розроблено багато методів наближення тригонометричними поліномами у просторах періодичних функцій, серед яких є як лінійні, побудовані на базі сум Фур'є, так і нелінійні методи. Систематичні розробки в даному напрямку почали проводитися у 80-х роках минулого століття під впливом робіт С.М. Нікольського, В.К. Дзядика, М.Т. Корнійчука, Б. Надя та інших вчених математиків. Сьогодні дослідження, пов'язані із лінійними методами, займають широку область, яка містить ряд постановок задач та глибоких результатів. Серед лінійних методів виділимо такі Л-методи як метод частинних сум Фур'є, метод Фейєра, Валле-Пуссена, Зігмунда, Рогозинського та інших. Кожен з цих методів став важливою ланкою в галузі теорії апроксимації.

1.1 ПРИКЛАДИ ТРИКУТНИХ ТА ПРЯМОКУТНИХ Л-МЕТОДІВ ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДІВ ФУР'Є

Нехай - - періодична, сумовна за Лебегом функція і

(1.1)

її ряд Фур'є.

,

- коефіцієнти Фур'є розкладу в ряд Фур'є функції .

В галузі теорії апроксимацій виділяють трикутні, прямокутні Л-методи, а також такі методи, що визначаються множиною функцій.

Нехай Л=, - довільна нескінченна трикутна матриця чисел. Кожній функції , виходячи із її розкладу в ряд Фур'є (1.1), поставимо у відповідність послідовність поліномів виду

(1.2)

Таким чином, довільна трикутна матриця Л задає метод побудови поліномів . Кажуть, що матриця Л визначає конкретний метод, Л-метод, підсумовування рядів Фур'є. При кожному фіксованому натуральному оператори є лінійними, тому Л-методи називаються лінійними методами.

Прикладами трикутних Л-методів є методи Фейєра, Валле-Пуссена, Рогозинського, Рісса та інші.

Для методу Фейєра числова матриця має вигляд . В цьому випадку поліноми називаються сумами Фейєра і позначаються . Можна показати, що суми Фейєра мають вигляд .

У випадку, коли отримуємо суми Рогозинського, які згідно формули (1.2), можна представити у вигляді

.

Зауважимо, що елементи матриці Л, котрі визначають певний лінійний метод, взагалі кажучи, є довільними числами. Проте у всіх випадках покладають, що для всіх .

Підставимо коефіцієнти Фур'є функції у співвідношення (1.2), отримаємо

.

Виконавши в останньому виразі деякі елементарні перетворення, знайдемо представлення поліномів у такому виді

.

Означення 1.1. Тригонометричний поліном порядку n вигляду

називається ядром методу .

Зауважимо, що у методі частинних сум Фур'є тригонометричний поліном порядка n

називається ядром Діріхле. Відомо, що ядро Діріхле має такий вигляд:

.

Розглянемо випадок прямокутних Л-методів.

Нехай Л=, - довільна нескінченна прямокутна матриця чисел, . Кожній функції поставимо у відповідність ряд

(1.3)

де - ядро методу :

.

Прикладом даного методу є метод підсумовування рядів Фур'є інтегралами Пуассона або гармонійними інтегралами Пуассона. Цей метод отримаємо із (1.3), поклавши ,

,

де .

У випадку, коли , отримаємо метод підсумовування рядів Фур'є бігармонійними інтегралами Пуассона.

Легко бачити, що при будь-якому фіксованому n оператори (1.3) лінійні, тобто для та виконується рівність

, .

Тому Л-методи називаються лінійними прямокутними методами підсумовування рядів Фур'є.

Розглянемо Л-методи, породжені множиною функцій.

Нехай - - періодична сумовна функція, - її ряд Фур'є вигляду (1.1). Позначимо через Л= множину функцій натурального аргумента k, що залежить від дійсного параметра , який заданий на деякій множині , яка має принаймні одну граничну точку .

Відмітимо, що у випадку, коли числа є елементами прямокутної числової матриці Л=, .

Кожній функції поставимо у відповідність ряд

.

Якщо цей ряд при всіх є рядом Фур'є деякої неперервної функції , то кажуть, що множина функцій Л визначає метод підсумовування рядів Фур'є функції . Відмітимо, що оператор при кожному фіксованому є лінійним, а тому методи, що породжуються множиною функцій називаються лінійними методами.

У випадку, коли , функцію називається бігармонійним інтегралом Пуассона і позначають . Ядро методу називається бігармонійним ядром Пуассона, і має вигляд

, або

.

1.2 ПУДСУМОВУВАННЯ МЕТОДОМ АБЕЛЯ

Нехай - коефіцієнти Фур'є функції . Абелеві середні для і - це функції

(1.4)

Дослідимо границі функцій (1.4) при . Оскільки , то ряди в (1.4) збігаються абсолютно і рівномірно при . Тому і - неперервні функції в точках при .

Абелеві середні парного ряду і непарного ряду мають вигляд

(1.5)

.(1.6)

Вони відповідно називаються ядром Пуассона і спряженим ядром Пуассона.

Співвідношення (1.4) можна подати в такому інтегральному представленні:

(1.7)

(1.8)

Функції і , задані у вигляді (1.7) і (1.8), часто називаються інтегралом Пуассона і спраженим інтегралом Пуассона від . Таким чином, вирази «абелеві середні ряду » і «інтеграл Пуассона від функції » синоніми.

Визначник

?,

в (1.5) і (1.6) додатній для всіх . Звідси випливає, що

для всіх (1.9)

Отже, - додатнє ядро. При фіксованому його максимум і мінімум розміщені відповідно в точках і . Таким чином,

(1.10)

Іноді зручно користуватися нерівністю

(1.11)

Другие файлы:

Основні методи інтегрування
Таблиця основних інтегралів та знаходження невизначених інтегралів від елементарних функцій. Розкладання підінтегральної функції в лінійну комбінацію...

Інтегральне числення
Вивчення елементарних функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями, тобто вони не обчислюються в скінченному вигляді або не 6еруться. Набл...

Еліптичні інтеграли
Проблеми відновлення функції по відомій її похідній для науки та техніки серед множини абелевих інтегралів та алгебраїчних кривих і функцій. Інтегрува...

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"
Методи наближеного обчислення визначених інтегралів, первісна яких не представлена у вигляді комплексу елементарних функцій. Аналіз умов використання...

Распределение Пуассона
Числовые характеристики положения о распределении Пуассона и разброса. Асимметрия и эксцесс распределения Пуассона, его дополнительные характеристики,...