Методи математичного аналізу при розв'язанні фізичних задач

Застосування методів математичного аналізу для знаходження центрів мас кривих, плоских фігур та поверхонь з використанням інтегральних числень функцій однієї та кількох змінних. Поняття визначеного, подвійного, криволінійного та поверхневого інтегралів.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

ЗМІСТ

Вступ

1. Знаходження центра маси кривої за допомогою визначеного інтеграла

2. Знаходження центра маси плоскої фігури за допомогою визначеного інтеграла

3. Застосування подвійного інтеграла при розв'язанні задачі про масу матеріальної пластинки

4. Застосування подвійних інтегралів до знаходження центру мас матеріальної пластинки

5. Застосування потрійного інтегралу до обчислення мас та центрів мас тіл

6. Знаходження маси кривої за допомогою криволінійних інтегралів першого роду

7. Застосування поверхневих інтегралів першого роду до знаходження маси та центра маси матеріальної поверхні

Висновки

ВСТУП

Методи математичного аналізу застосовуються в багатьох розділах математики, наприклад, в теорії диференціальних і інтегральних рівнянь, в теорії ймовірності і математичній статистиці, в теорії оптимальних процесів, а також в інших науках, зокрема, фізиці, біології, хімії, соціології тощо.

Метою даної роботи є показати різноманітність методів математичного аналізу при розв'язанні конкретної фізичної задачі, а саме, знаходження мас та центрів мас кривих, плоских фігур та поверхонь. Виявляється, що при розв'язанні саме цих задач використовується інтегральне числення функцій однієї та кількох змінних, а саме: визначений інтеграл, подвійний інтеграл, потрійний інтеграл, криволінійний інтеграл та поверхневий інтеграл.

Інтегральне числення - розділ математики, в якому вивчаються поняття інтеграла, його властивості і способи обчислень. Інтегральне числення пов'язане з диференціальним і складає разом з ним основу математичного аналізу. Витоки інтегрального числення відносяться до античного періоду розвитку математики і пов'язані з методом вичерпування, розробленим математиками Стародавньої Греції. Цей метод виник при розв'язанні задач на обчислення площ плоских фігур і поверхонь, об'ємів тіл, деяких задач статики і гідродинаміки. Він заснований на апроксимації даних об'єктів ступінчастими фігурами або тілами, складеними з простих фігур або просторових тіл (прямокутників, паралелепіпедів, циліндрів і т. п.). У цьому сенсі метод вичерпування можна розглядати як античний інтегральний метод. Найбільший розвиток метод вичерпування в стародавню епоху отримав в роботах Евдокса (4 в. до н.е.). Подальше його застосування і вдосконалення пов'язане з іменами багатьох учених XV-XVII вв. Основні поняття і теорія інтегрального і диференціального числень, перш за все зв'язок операцій диференціювання і інтегрування, а також їх застосування, до розв'язання прикладних завдань були розроблені в працях І. Ньютона і Г. Лейбніца в кінці XVII в. Істотну роль в створенні класичного математичного аналізу відіграли роботи Л. Ейлера, І. Бернуллі, Ж. Лагранжа. У XIX столітті у зв'язку з появою поняття границі інтегральне числення придбало логічно завершену форму в роботах О. Коші, Б. Рімана і ін. Подальший розвиток інтегрального числення в XIX і XX століттях отримало у зв'язку з розвитком досліджень по теорії міри.

Основними поняттями інтегрального числення є два тісно зв'язаних поняття інтеграла: невизначеного і визначеного. Узагальнення поняття певного інтеграла від функції одного змінного на випадок функції багатьох змінних приводить до поняття кратного інтеграла. Розширення практичного використання інтегрального числення зумовило введення понять криволінійного інтеграла - інтеграла по кривої, поверхневого інтеграла - інтеграла по поверхні.

математичний функція інтеграл криволінійний

1. Знаходження центра маси кривої за допомогою визначеного інтеграла

Відомо, що статичний момент матеріальної точки масою відносно деякої вісі дорівнює добутку маси на відстань точки від вісі. У випадку системи матеріальних точок з масами , що знаходяться в одній площині з віссю відповідно на відстанях від вісі, статичний момент є сумою . При цьому відстані точок, що лежать з одного боку від вісі, беруть зі знаком плюс, по різні боку - зі знаком мінус.

Якщо ж маси не зосереджені в окремих точках, а розташовані неперервно, то для знаходження статичного моменту замість суми використовують інтеграл.

Розглянемо знаходження статичного моменту відносно вісі мас, розташованих вздовж деякої плоскої кривої (рис. 1).

Припустимо, що крива однорідна, тобто її лінійна густина (маса на одиницю довжини) є постійною. Візьмемо який-небудь елемент кривої. Взявши цей елемент за матеріальну точку, що знаходиться на відстані від вісі, для її статичного моменту отримаємо вираз

.

Додавши всі елементарні статичні моменти, причому за незалежну змінну візьмемо дугу , що починається з точки , отримаємо

.

Аналогічно знаходиться момент відносно вісі :

.

Знаючи статичні моменти кривої, можна знайти положення її центру маси . Ця точка має ту властивість, що якщо в ній зосередити всю масу кривої, то момент цієї маси відносно будь-якої вісі співпадає з моментом кривої відносно цієї вісі. Зокрема, якщо розглянути моменти кривої відносно осей координат, то отримаємо

.

Звідси

,

де .

Якщо , то

, (1)

Враховуючи, що елемент довжини дорівнює , остаточно маємо

де

.

Приклад. Знайти центр маси дуги ланцюгової лінії при . Розв'язання.

Маємо:

,

.

З формул (1) для ординати центра маси отримаємо деякий геометричний наслідок. Маємо

, звідки ,

але права частина цієї рівності є площа поверхні, що отримана при обертанні кривої , в правій частині рівності є довжиною кола, що описується центром тяжіння кривої при обертанні її навколо вісі , а - довжина кривої . Таким чином, отримана теорема Гульдіна: площа поверхні, отриманої при обертанні кривої навколо деякої вісі, що її не перетинає, дорівнює добутку довжини дуги цієї кривої і довжини кола, описаного центром маси кривої . Ця формула дозволяє встановити координату центра маси кривої, якщо відомі її довжина та площа поверхні обертання цієї кривої навколо вісі . Приклад. Користуючись теоремою Гульдіна, визначити положення центра маси дуги кола радіуса . Розв'язання. Оскільки дуга симетрична відносно радіуса , то її центр мас знаходиться на цьому радіусі, і тому потрібно знайти лише координату , або відстань від центра маси до початку координат. Виберемо вісь так, як вказано на малюнку, довжину дуги позначимо через , а її хорди через . При обертанні дуги навколо вісі отримаємо поверхню, площа поверхні якої дорівнює . Тоді за теоремою Гульдіна таж сама поверхня дорівнює , звідси

і .

Зокрема, коли дуга є півколо, то , і .

2. Знаходження центра маси плоскої фігури за допомогою визначеного інтеграла

Розглянемо плоску фігуру, обмежену зверху кривою , заданою явним рівнянням (рис. 2). Припустимо, що вздовж цієї фігури рівномірно розподілені маси, так що поверхнева густина (маса на одиницю поверхні) їх постійна. Будемо вважати, що , тобто маса довільної частини фігури вимірюється її площею.

Для знаходження статичних моментів цієї фігури відносно осей координат, виділимо який-небудь елемент фігури у вигляді нескінченно вузької вертикальної смужки. Якщо цю смужку наближено вважати прямокутником, бачимо, що її маса буде . Для визначення відповідних елементарних моментів припустимо, що вся маса смужки зосереджена в її центрі маси (тобто в центрі прямокутника), що не змінює величини статичних моментів. Отримана матеріальна точка знаходиться на відстані від вісі , та відстані від вісі . Вираз , оскільки величина помножена на масу дала б нескінченно малу вищого порядку. Маємо

.

Додаючи всі елементарні моменти, отримаємо

, . (2)

Як і у випадку кривої, за цими статичними моментами можна визначити і координати центра маси фігури. Нехай - площа (а значить, і маса) фігури, то

.

звідси

.

В даному випадку також можна отримати важливий геометричний наслідок з формули для ординати центра маси. Маємо

. (3)

Прав частина цієї рівності виражає об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури навколо вісі , ліва - добуток площі цієї фігури на довжину кола, описаного центром тяжіння цієї фігури:

.

Приклад. Знайти координати центра маси фігури, обмеженої параболою , віссю та ординатою, що відповідає абсцисі .

Розв'язання. Маємо , тоді за формулами (2)

,

.

З іншого боку, площа

.

Тоді за формулами (3), отримаємо

, .

Можна розглянути задачу знаходження статичного моменту тіла відносно даної площини, якщо відомі площі поперечних перерізів тіла площинами, паралельними даній площині. Густину припустимо рівною 1.

Нехай маса (об'єм) елементарного слою тіла на відстані від площини є , тоді його статичний момент . Додавши, отримаємо

.

Відстань від центра тяжіння тіла від даної площини обчислюється за формулою

.

Зок...