Кратные интегралы

Понятие двойного и тройного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Криволинейные и поверхностные интегралы: понятия и способы вычисления. Геометрические и физические приложения.
Краткое сожержание материала:

29

Министерство образования и науки Российской Федерации

Курсовая работа

По дисциплине: Высшая математика

(Основы линейного программирования)

На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Выполнил: ______________

Преподаватель:___________

Дата ___________________

Оценка _________________

Подпись ________________

ВОРОНЕЖ 2008

Содержание

1 Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл

1.2 Тройной интеграл

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

2 Криволинейные и поверхностные интегралы

2.1 Криволинейные интегралы

2.2 Поверхностные интегралы

2.3 Геометрические и физические приложения

Список используемой литературы

1 Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей , а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d₁, d₂, ..., d_n. Выберем в каждой части точку Р_i.

Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P₁), f(P₂),…, f(P_n) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(P_i)?S_i:

, (1)

называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при и , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек P_i в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается

. (2)

Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями x = a, x = b ( a < b ), где ?₁(х) и ?₂(х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:

Рис. 1

= (3)

1.2 Тройной интеграл

Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части ?v_i , считая объем каждой части равным ?v_i , и составим интегральную сумму вида

, (4)

Предел при интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек P_i в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:

. (5)

Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:

. (6)

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).

Рис. 2 Рис. 3

Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО - полярный радиус ? и угол ? между МО и полярной осью: М(?,?). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ? > 0, а полярный угол ? будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным - при измерении в противоположном направлении.

Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох - с полярной осью (рис. 3). Тогда x=?cos?, у=?sin? . Отсюда , tg.

Зададим в области D, ограниченной кривыми ?=?₁ (?) и ?=?₂ (?), где ?_{1 <} ? < ?₂ , непрерывную функцию z = f(?, ?) (рис. 4).

Рис. 4

Тогда

(7)

В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.

Цилиндрические координаты точки Р(?,?,z) - это полярные координаты ?, ? проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.5).

Рис.5 Рис.6

Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:

x = ? cos?, y = ? sin?, z = z. (8)

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r - расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), ? - полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и ? - углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.6). При этом

Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:

x = r sin? cos?, y = r sin? sin?, z = r cos?. (9)

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:

, (10)

где F₁ и F₂ - функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.

1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

1) Площадь плоской области S: (11)

Пример 1.

Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями

у = 2, у = 5.

Решение.

29

Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями и

где вычисляется с помощью интегрирования по частям:

Следовательно,

2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x,y) , ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху:

(12)

3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L:

(13)

где D - проекция S на плоскость Оху.

4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D:

(14)

Пример 2.

Найти момент инерции однородной круглой пластинки

(x - a)² + (y - b)² < 4b² относительно начала координат.

Решение.

В силу однородности пластинки положим ее плотность ?(х,у) = 1.

29

Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b.

Уравнения границ пластинки имеют вид

Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.

Для вычисления интеграла I₁ сделаем замену:

при x = a - 2b при x = a + 2b

Для вычисления интеграла I₂ преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:

Тогда

Следовательно,

Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:

(15)

5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности ? = ? (х, у):

(16)

Пример 3.

Найти массу пластинки D плотности ? = ух³, если

Решение.

29

Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности ? = ? (х, у):

(17)

Пример 4.

Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у² = ах и

Решение.

Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.

29

Тогда

Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:

Соответственно

6) Объем тела V:

(18)

Пример 5.

Найти объем тела V, ограниченного поверхностями

Решение.

Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0):

29

Определим абсциссу точки пересе...