Кратные интегралы

Понятие определенного, двойного, тройного, криволинейного и поверхностного интегралов. Предел интегральной суммы. Вычисление двойного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине Математика

На тему Кратные интегралы



СОДЕРЖАНИЕ

1. КРАТНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1 Определенный интеграл

1.2 Двойной интеграл

1.3 Тройной интеграл

1.4 Кратные интегралы в криволинейных координатах

1.5 Криволинейные интегралы

1.6 Поверхностные интегралы

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ПРИЛОЖЕНИЯ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



1 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1 Определенный интеграл

Пусть функция y=?(x) определена на отрезке [a;b],a<b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек a=x0 x1 x2 … xn=b(i=) разобьем отрезок [a,b] на n частичных отрезков [x0;x1],[x1,x2],…,[xn-1;xn],обозначим xi= xi - xi-1 (см. рис. 1).

c1 ci cn

a=x0 x1 xi-1 xi b=xn

Рис.1

2. В каждом частичном отрезке [xi-1;xi], i = произвольным образом выберем точку ci [xi-1;xi] и вычислим значение рассматриваемой функции в ней ?(ci).

3.Составляем интегральную сумму

?(ci)*xi

4.Находим предел интегральной суммы

Если предел интегральных сумм конечен (существует),не зависит от способа разбиения отрезка АВ на участки,не зависит от выбора точки на каждом из отрезков ,то он определяет определенный интеграл, то есть:

1.2 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей , а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d1, d2, ..., dn. Выберем в каждой части точку Рi.

Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P1), f(P2),…, f(Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(Pi)?Si :

, (1)

называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при и , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pi в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается

. (2)

Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями x = a, x = b ( a < b ), где ?1(х) и ?2(х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:

Рис. 1

= (3)

1.3 Тройной интеграл

Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части ?vi , считая объем каждой части равным ?vi , и составим интегральную сумму вида

, (4)



Предел при интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек Pi в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:

. (5)

Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:

. (6)

1.4 Кратные интегралы в криволинейных координатах

Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).

Рис. 2 Рис. 3

Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО - полярный радиус ? и угол ? между МО и полярной осью: М(?,?). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ? > 0, а полярный угол ? будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным - при измерении в противоположном направлении.

Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох - с полярной осью (рис. 3). Тогда x=?cos?, у=?sin? . Отсюда , tg.

Зададим в области D, ограниченной кривыми ?=?1 (?) и ?=?2 (?), где ?1 < ? < ?2 , непрерывную функцию z = f(?, ?) (рис. 4).

Рис. 4

Тогда

(7)

В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.

Цилиндрические координаты точки Р(?,?,z) - это полярные координаты ?, ? проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.5).

Рис.5 Рис.6

Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:

x = ? cos?, y = ? sin?, z = z. (8)

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r - расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), ? - полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и ? - углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.6). При этом

Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:

x = r sin? cos?, y = r sin? sin?, z = r cos?. (9)

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:

, (10)

где F1 и F2 - функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.

1.5 Криволинейные интегралы

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части ?si длиной ?si и выберем на каждой из частей точку Mi. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: .

Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi:

(24)

Если кривую L можно задать параметрически:

x = ?(t), y = ?(t), z = ?(t), t0 ? t ? T,



то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой

(25)

В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:

у=?(х),

где х1 ? х ? х2, формула (40) преобразуется к виду:

. (26)

Теперь умножим значение функции в точке Mi не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi - xi-1 = ?xi.

Если существует конечный предел при интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

. (27)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

Если вдоль кривой L определены функции

P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z),

которые можно считать компонентами некоторого вектора , и существуют интегралы

,

тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

Если кривая L задана параметрическими уравнениями

x = ?(t), y = ?(t), z = ?(t), ? ? t ? ? ,

где ?, ?, ? - непрерывно дифференцируемые функции, то

. (28)

Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:

(29)

где L - замкнутый контур, а D - область, ограниченная этим контуром.

Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования являются:

. (30)

При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

При этом функцию и можно найти по формуле

(31)



где (x0, y0, z0) - точка из области D, a C - произвольная постоянная.

1.6 Поверхностные интегралы

Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой пове...