Краевые задачи и разностные схемы
Краткое сожержание материала:
Реферат з курсу “Введение в численные методы”
Тема: “КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ”
Содержание
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
4. Краевые задачи второго порядка
5. Разностные схемы для уравнений в частных производных
6. Повышение точности разностных схем
7. Сеточные методы для нестационарных задач
Литература
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.
Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.
Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:
где - соответственно i-тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,
- функция, описывающая внешнее воздействие на динамический объект.
Обозначим первую производную искомой функции новой переменной , первую производную - следующей переменной: , первую производную - переменной и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем дифференциальное уравнение первого порядка:
При таких заменах производных искомой функции ее n-ная производная оказывается равной первой производной от :
В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:
В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид
то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными осуществляется по следующим формулам:
Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от . Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.
И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:
Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:
Производные искомой функции можно выразить через вновь введенные переменные путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных :
Умножив каждое выражение для на коэффициенты и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных .
Система уравнений имеет вид:
В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:
где - вектор известных коэффициентов,
- вектор искомых коэффициентов,
- соответственно прямая и обратная верхне-треугольные матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:
.
Обратная матрица удобна при использовании математических пакетов для решения векторно-матричного уравнения. Если , то коэффициенты легко вычисляются последовательной подстановкой значений , начиная с .
Начальные условия для вычисляются по выражениям для следующим образом:
или в векторно-матричной форме:
,
.
2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений
Представление системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями
можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i ():
,
погрешность аппроксимации которого пропорциональна сеточному шагу h.
Выше было уже показано, как можно уменьшить погрешность аппроксимации, делая ее пропорциональной . В частности это можно сделать, использовав среднее арифметическое двух разностей первого порядка: “вперед” и “ назад”.
При такой замене производной мы получаем систему разностных уравнений, состоящую из разностных уравнений второго порядка, требующих, кроме известного вектора начальных условий , еще один дополнительный вектор :
.
Дополнительный вектор начальных условий достаточно вычислить по формуле Эйлера. Он и определит дополнительное начальное условие с ошибкой, пропорциональной второй степени h:
Подстановка таких начальных условий в решение сохранит погрешность результатов на уровне . В таком случае говорят, что разностная схема имеет второй порядок точности.
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.
Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.
Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора как
,
обязательно задается полный набор краевых условий , включающий хотя бы одно значение , или набор комбинаций из значений и
Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n-ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы , , и матрица в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования , в котором с шагом по оси абсцисс равном . Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:
.
Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:
Чтобы выразить значение производной порядка k в m-той точке целочисленного интервала [0, n] через ординаты функции необходимо выполнить следующие операторные преобразования:
Заменив конечно-разностные операторы (после приравнивания нулю разностей со степенями выше n) выражениями с оператором сдвига и вспомнив, что , получим в результате для k-той производной в m-той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:
.
Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине и c наибольшим - для точек конца интервала.
Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке - коэффициенты k1, k2 для формул погрешности.
Трех точечная аппроксимация первой производной
|
|
y(0) |
y(1) |
y(2) |
|
|
|
y'(0) |
-3 |
4 |
-1 |
2 |
|
|
y'(1) |
-1 |
0 |
1 |
-1 |
|
|
y'(2)
Другие файлы:
Разностные схемы для уравнений параболического типа Разностные схемы на нерегулярных сетках Моделирование процессов конвективного обмена Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках 12 лекций по вычислительной математике |
© 2006-2015 Студенческий сайт ТНУ им. В.И.Вернадского, TNU.in.UA