Корені многочленів довільного степеня

Вивчення рівняння з однією невідомою довільного степеня та способів знаходження коренів таких рівнянь. Доведення основної теореми алгебри. Огляд способу Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь. Відокремлення коренів методом Штурма.
Краткое сожержание материала:

Размещено на http:///

Размещено на http:///

Зміст

Вступ

1. Основна теорема алгебри

1.1 Доведення основної теореми алгебри

1.2 Наслідки з основної теореми алгебри. Формула Вієта

1.3 Многочлени з дійсними коефіцієнтами

2. Межі дійсних коренів

2.1 Спосіб Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь

2.2 Число дійсних коренів

2.3 Відокремлення коренів методом Штурма

3. Наближені методи обчислення коренів

3.1 Методи відокремлення коренів многочлена

3.2 Метод Лобачевського

3.2.1 Випадок дійсних коренів

3.2.2 Випадок комплексних коренів

4. Приклади розв'язання задач

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

Безліч математиків доклали багато зусиль, щоб знайти формули для розв'язання рівнянь високих степенів. Формули для розв'язання рівнянь третього і четвертого степеня були знайдені в 16 столітті. Після цього почались пошуки формул, які б виражали корені рівнянь п'ятої і вище степенів, але ці пошуки виявились безуспішними.

Центральним в алгебрі многочленів виявляється питання не про практичний пошук коренів многочлена, а питання про їх існування. Відомо, що існують квадратні рівняння з дійсними коефіцієнтами, які не мають дійсних коренів. А чи не знайдеться таке рівняння п'ятого чи більш високого степеня, яке не має жодного кореня навіть серед комплексних чисел, і чи не доведеться для пошуку коренів даних рівнянь переходити від комплексних чисел до більш широкого запасу чисел? Відповідь на це питання дає важлива теорема (основна теорема алгебри), яка стверджує, що будь-яке рівняння з будь-якими числовими коефіцієнтами, не лише з дійсними, але і з комплексними, має хоча б один комплексний корінь.

Твердження, близьке до основної теореми алгебри висловили ще в 17 столітті Жерар (1629) і Декарт (1637). Воно полягало в тому, що кожне алгебраїчне рівняння -го степеня має коренів; якщо ж дійсних коренів менше , при цьому решту коренів слід вважати «уявними». При цьому термін «уявний» не збігався з сучасним поняттям комплексного числа, а означав просто, що потрібну кількість коренів можна собі уявити існуючою.

Більш обережно формулював основну теорему алгебри Ньютон (1707), але у 18 столітті Ейлер чітко сформулював основну теорему алгебри.

Перша спроба доведення теореми належить французькому математику Даламберу. Але були інші спроби доведення основної теореми алгебри видатними вченими, а саме, Ейлером, Лагранжем.

Прийнято вважати, що перше строге доведення основної теореми дав Гаусс у 1799. Однак з точки сучасного вчення про неперервність це доведення вимагає деяких доповнень і, крім того, воно стосується лише многочленів з дійсними коефіцієнтами. Але основний хід цього доведення цілком правильний.

Однією з найважливіших тем алгебри є : вивчення рівняння з однією невідомою довільного степеня та способи знаходження коренів таких рівнянь. Метою курсової роботи є розширення уявлення про корені многочленів довільного степеня.

1. Основна теорема алгебри

Розглянемо основні поняття, що стосуються даної теми.

Означення 1. Многочленом від однієї змінної над областю цілісністю називається вираз , де - довільне ціле невід'ємне число, - елементи області цілісності, а (або ), - деякі символи; називається -м степенем змінної (або невідомого ), а - -м коефіцієнтом многочлена

або коефіцієнтом при (=0,1,…, ).

Означення 2. Відмінний від нуля член многочлена, степінь якого більший за степінь усіх інших відмінних від нуля членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнти - старшим коефіцієнтом, а його степінь - степенем многочлена.

Означення 3. Коренем многочлена називається елемент будь-якого розширення поля такий, що .

Означення 4. Елемент називається коренем многочлена , якщо ділиться на .

Головним результатом дослідження питання про існування коренів алгебраїчних рівнянь є так звана основна теорема алгебри.

Розглянемо питання про існування коренів многочлена з геометричного погляду. Нам треба показати, що для всякого многочлена ненульового степеня від комплексного змінного P(z) знайдеться на комплексній площині хоча б одна точка z₀ така, що P(z₀) = 0. Зауважимо, що зручніше досліджувати не самий многочлен P(z) , а його модуль, тобто функцію w = . Безпосередньо ясно, що функції P(z) і перетворюються в нуль в одних і тих самих точках, так що з точки зору існування коренів та їх розміщення на комплексній площині байдуже , чи ми розглядаємо P(z) , чи . Проте має ту перевагу, що вона набуває лише дійсних і притому невід'ємних значень, що полегшує застосування до неї методів математичного аналізу.

1.1 Доведення основної теореми алгебри

Теорема 1. Якщо P(z) - многочлен ненульового степеня, то для довільного додатного числа M можна знайти таке число N, що при

.

Саме це твердження і означає, що необмежено зростає, коли точка z необмежено віддаляється від початку координат, бо яким би великим не було число M, перевищуватиме M , як тільки віддаль точки z від початку координат буде більша відповідного N.

Доведення. Користуючись властивостями модуля комплексного числа, маємо :

= (1)

Але

(2)

де - найбільший з модулів коефіцієнтів Якщо накласти (яке до цього часу було довільним комплексним числом) додаткову умову :

(3)

То (4)

Підсилюючи за допомогою нерівностей (2) і (4) нерівність (1), маємо:

(5)

При необмеженому зростанні стане більше за число

(6)

Для таких значень справджується нерівність

і тому (7)

Коли , задовольняючи нерівність (3), задовольняють і нерівність (6), тобто коли

(8)

то на підставі (5) і (7) можна записати :

(9)

Покажемо тепер, що при достатньо великих величина буде більшою від наперед заданого додатного числа . Справді, при

 (10)

Справедлива нерівність

(11)

Якщо при цьому також справджується нерівність (9), то з (9) і (11) випливає . Через те що нерівність (9) справедлива для тих , що задовольняють умову (8), а нерівність (11) - для тих, що задовольняють умову (10), то потрібна нам нерівність справджуватиметься для всіх , які задовольняють обидві ці умови, тобто для яких , де

.

Ясно, що таке можна знайти для довільного додатного Теорему доведено.

Зауваження. З нерівностей, встановлених при доведенні цієї теореми, можна безпосередньо дістати такий важливий наслідок : многочлен може мати лише такі корені, модуль яких менший від числа

(12)

де найбільший з модулів коефіцієнтів

Зауваження. При модуль старшого члена многочлена більший за модуль суми всіх інших членів цього многочлена.

Теорема 2. Для довільного многочлена існує хоча б одна точка комплексної площини, в якій функція набуває найменшого значення, тобто така, що для довільного комплексного числа .

Теорема 3. (основна теорема алгебри). Довільний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь.

Доведення. З теореми 2 відомо, що функція хоч при одному комплексному набуває найменшого значення. Для доведення основної теореми алгебри досить встановити, що =0, тобто що і є коренем многочлена.

Припустимо супротивне, тобто що , і покажемо, що в цьому випадку не може бути точкою, в якій набуває найменшого значення. Для цього, очевидно, слід показати, що можна знайти таку точку , в якій або, що те саме, .

Застосуємо до многочлена формулу Тейлора :

(13)

Через те що за припущенням, очевидно, що й . Тому, щоб знайти потрібне нам відношення , поділимо почленно обидві частини рівності (13) на . Матимемо :

=

Позначимо в цій рівності для скорочення . І коефіцієнти при через ( дістанемо рівність

(14)

Зрозуміло, що в цій рівності ряд перших коефіцієнтів може дорівнювати нулю : Проте серед усіх коефіцієнтів повинен бути хоча б один коефіцієнт Справді, коли б усі коефіцієнти дорівнювали нулю, то це означало б, що , і для будь-якого за формулою (13) ми мали б , тобто многочлен є числом (многочленом нульового степеня), що суперечить умові теореми. Отже, припустимо, що , а . (Якщо вже , то ). Тоді рівність (14) можна записати в такому вигляді :

. (15)

Користуюч...