Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Теоретичне дослідження основних теорій інваріантних тороїдальних многовидів для зліченних систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь, що визначені на скінченновимірних та нескінченновимірних торах.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Курсова робота

на тему

Інваріантні тори різницевих рівнянь

Вступ

рівняння тороїдальний многовид

Розвиток технічних наук обумовив інтерес до різницевих рівнянь, що виявилось досить зручною моделлю для опису імпульсних та дискретних динамічних систем. Крім того, різницеві рівняння зустрічаються при чисельному розв'язуванні багатьох класів диференціальних рівнянь за допомогою методу скінченних різниць.

Початок вивчення різницевих рівнянь було покладено в роботах Лагранжа, Ейлера, Пуанкаре, Перрона. Однак систематичне дослідження таких рівнянь почалось лише в другій половині нашого сторіччя.

При використанні електронно-обчислювальних машин усі неперервні за часом процеси дискретизуються. Від неперервно змінних аргументів переходять до дискретно змінних аргументів, бо цифрова машина може діяти тільки з числами. При цьому від диференціальних рівнянь переходять до різницевих рівнянь.

Протягом останнього десятиріччя опубліковано декілька наукових праць, в яких метод функцій Гріна-Самойленка застосовано до дослідження інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих та різницевих рівнянь. Проте цих праць зовсім мало і вони далеко не вирішують проблему побудови теорії інваріантних тороїдальних многовидів для систем вказаного виду. Оскільки різницеві рівняння є дискретними аналогами диференціальних, то стає зрозумілою доцільність розвинення теорії інваріантних торів для зліченних систем різницевих рівнянь, чому і присвячена дана курсова робота.

Основною задачею курсової роботи є теоретичне дослідження основних теорії інваріантних тороїдальних многовидів для зліченних систем лінійних та нелінійних різницевих рівнянь, що визначені на скінченновимірних та нескінченновимірних торах і містять незалежні відхилення дискретного аргументу.

Курсова робота складається, з вступу, трьох розділів основного тексту, висновку та списку використаних джерел. Обсяг курсової роботи становить сторінок.

Розділ 1. Різницеві рівняння

1.1 Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння

(1)

де -- сталі коефіцієнти. Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в рівнозначній формі

(2)

Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі

(3)

Якщо f(k) = 0, то різницеве рівняння називається однорідним, якщо

f(k) ? 0, то рівняння називається неоднорідним.

Нагадаємо, що оператор зсуву S

(4)

Для однозначного визначення розв'язків різницевого рівняння достатньо задати початкові умови



(5)

Означення. Розв'язком різницеве рівняння (2) називається послідовність yk (k = 0, 1, 2, .), яка при підстановці її в різницевих рівняннях (2) перетворює його в тотожність.

Приклад. Покажемо, що послідовність є розв'язком різницевого рівняння

Підставляючи значення yk = 2k, в різницевих рівнянях, одержимо тотожність

2k+1 - 2 2k = 0 (k = 0, 1, 2, …).

1.2 Однорідні різницеві рівняння

Наведемо деякі властивості розв'язків однорідного різницевого рівняння

(6)

1. Якщо різницеве рівняння (6) має частинні розв'язки

yk = yk,1 (k = 0, 1, 2, …),

то воно має також розв'язок yk = Ck,1, C = const

2. Якщо різницеве рівняння (6) має два розв'язки yk = yk,1, yk = yk,2, то воно має також розв'язок yk = yk,1+ yk,2 Звідси маємо, що різницеве рівняння має розв'язок:



Означення. Розв'язок різницевого рівняння (6) при

(7)

називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С1, С2, ., Сn можна задовольнити довільні початкові умови (6).

Якщо yk (7) загальне рішення різницевого рівняння (7), то система лінійних алгебраїчних рівнянь

завжди має розв'язок відносно сталих С1, С2, ... , Сn.

Означення. Визначник

називається визначником Вронського. Замінюючи k на k+1 у визначнику (8), одержимо рівняння для визначника Вронського

Л. Ейлер запропонував загальний метод розв'язання різницевих рівнянь (6). Розглянемо спочатку різницеве рівняння першого порядку



З рівняння при k = 0, 1, 2, … одержимо рівняння

Виходячи з цього, різницеве рівняння (6) має частинний розв'язок.

Розв'язок yk = ak y0 (k = 0,1,2, …) обмежено при |a| ? 1 , прямує до нуля при якщо |a| < 1 необмежено зростає по модулю при |a| > 1.

Л. Ейлер запропонував шукати розв'язок різницевого рівняння (6) у вигляді Число м називається мультиплікатором розв'язків різницевого рівняння (6).

Оскільки справедлива рівність, то для визначення мультиплікаторів одержимо алгебраїчні рівняння або

Це рівняння називається мультиплікаторним або характеристичним.

Якщо рівняння L(м) = 0 має n різних коренів м1, м2,…, мn, то загальний розв'язок різницевого рівняння (6) має вигляд

Частинні розв'язки будуть лінійно незалежні, так як визначник Вронського є визначником Вандермонда і відрізняється від нуля при мk ? мi, (k,i = 1,2,…, n; k ? i)

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок різницевого рівняння



Мультиплікаторне рівняння м2-5м+6 = 0 має розв'язок у1 = 2, у2 = 3. Тому різницеве рівняння має загальний розв'язок

(k = 0, 1, 2, ...).

Приклад. Знайдемо частинний розв'язок різницевого рівняння

з початковими умовами у0=0, у1=1.

Мультиплікаторне рівняння м2-25м+4 = 0 має комплексні корені

Загальний розв'язок в комплексній формі має вигляд

k = (0, 1, 2, ...).

Цей розв'язок у дійсній формі має вигляд

Для визначення сталих С3, С4 одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

З цієї системи рівнянь знайдемо С3 = 0, С4 = . Остаточно знаходимо

частковий розв'язок

що задовольняє задані початкові умови.

Якщо рівняння L(м) = 0 має корінь м1 кратності n1, то різницеве рівняння (6) має n1 лінійно незалежних часткових розв'язків

Наведемо теорему про загальний розв'язок різницевого рівняння (6).

Теорема. Якщо мультиплікаторне рівняння L(м) = 0 має корені м1,…, мn кратності n1, …, ni (n1 + n2 + …+ ni= n), то загальний розв'язок різницевого рівняння (6) одержимо у вигляді

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок різницевого рівняння

Мультиплікаторне рівняння м3-м2+12м-8 = 0 має трикратний корінь

м = 2. Тому загальний розв'язок має вигляд

1.3 Неоднорідне різницеве рівняння

Неоднорідне різницеве рівняння

(9)

завжди може бути зведене до підсумовування відомих функцій, якщо використовувати метод варіації довільних сталих.

Загальний розв'язок неоднорідного різницевого рівняння (9) є сумою частинного розв'язку неоднорідного різницевих рівнянь та загального розв'язку однорідного різницевого рівняння.

Найбільш часто зустрічається різницеве рівняння

(10)

де Qq(k) -- многочлен від k степеня q. Має місце теорема.

Теорема. Якщо L(м) ? 0, то рівняння (10) має частковий розв'язок виду де

Rq(k) деякий многочлен від k степеня q.

Якщо м є коренем кратності m рівняння L(м) = 0, то різницеве рівняння (10) має частковий розв'язок виду

Многочлен Rq(k) можна знайти методом невизначенних коефіцієнтів.

Приклад. Знайдемо частковий розв'язок різницевого рівняння

Частковий розв'язок знаходимо у вигляді

Підставляючи у різницеве рівняння, одержимо рівняння для визначення А, В.

з якого знаходимо

Розв'язок різницевого рівняння (10) можна знайти у вигляді

При цьому приходимо до різницевого рівняння

і розв'язок zk шукається у вигляді многочлена

де m - кратність кореня м рівняння L(m) = 0.

Розділ 2. Достатні умови існування неперервного інваріантного тору

Розглянемо систему рівнянь

(1)

в якій

де функції і нескінченна матриця дійсні та періодичні відносно з періодом ; ; - цілочислові параметри, які зумовлюють відхилення аргументу; - дійсний параметр. Інтерпретуючи як кутові координати, вважатимемо, що система рівнянь (1) в...