Елементи багатомірної геометрії

Елементи загальної теорії багатомірних просторів, аксіоматика Вейля. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах: паралелепіпеди, симплекси, кулі. Застосування багатомірної геометрії: простір-час класичної механіки і теорії відносності.
Краткое сожержание материала:

2

Дипломна робота

Елементи багатомірної геометрії

ЗМІСТ

Введення

Глава 1. Елементи загальної теорії багатомірних просторів

§1. Історична довідка

§2. Поняття векторного багатомірного простору на основі аксіоматики Вейля.

§3. Евклідовий векторний простір

§4. Поняття крапко-векторного афінного n-мірного простору

Глава 2. Багатомірні геометричні образи в n-мірних просторах

§5. Чотирьохмірний простір. Визначення і його дослідження

§6. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах

§7. K-Паралелепіпеди в просторі

§8. K-Симплекси в просторі

§9. K-Кулі в просторі

Глава 3. Застосування багатомірної геометрії

§10. Про необхідність введення багатомірного простору (на прикладах задач)

§11. Простір-Час класичної механіки

§ 12. Простір-Час спеціальної теорії відносності

§13. Простір-Час загальної теорії відносності

Висновок

Література

Введення

Багатомірна геометрія в наш час широко застосовується в математиці й фізиці для наочного подання рівнянь із декількома невідомими, функцій декількох змінних і систем з декількома ступенями волі.

Геометрична мова дозволяє застосувати до рішення складних задач геометричну інтуїцію, що зложилася в нашім звичайному просторі.

До множини задач, розв'язуваних за допомогою багатомірної геометрії, ставляться задачі про знаходження більше вигідних варіантів перевезень, задачі про найбільш вигідні способи розкрою матеріалу, найбільш ефективних режимах роботи підприємств, задачі про складання виробничих планів і т.п. Той факт, що ці задачі вирішуються геометрично за допомогою знаходження найбільших або найменших значень лінійних функцій на багатогранниках (причому, як правило, у просторах, що має розмірність, більшу трьох) був уперше помічений Л.В. Канторовичем. Необхідність розгляду n-мірних просторів при n > 3 диктується також математичними задачами фізики, хімії, біології й інших областей знання.

Таким чином, хоча просторові властивості навколишнього світу добре описуються геометричним тривимірним простором, потреби практичної діяльності людини приводить до необхідності розгляду просторів будь-якої розмірності n. Метою дипломної роботи є розгляд методів побудови багатомірних просторів і деяких геометричних образів у цих просторах; приведення прикладів застосування багатомірної геометрії.

Об'єктом дослідження є теорія багатомірних просторів і їхня практична значимість.

Робота складається із введення, трьох глав, розбитих на параграфи, списку літератури. У першому розділі розглядається історична довідка багатомірного простору, поняття n-мірного простору на основі аксіоматики Вейля, евклідовий векторний простір, також сповіщається про афінному n-мірний простір.

У другому розділі розповідається про багатомірні геометричні образи в n-мірному просторі.

Третій розділ роботи містить застосування багатомірної геометрії в різних теоріях.

Глава 1. Елементи загальної теорії багатомірних просторів

§1. Історична довідка

Багатомірна геометрія - геометрія просторів розмірності, більше трьох. Термін «багатомірна геометрія» застосовується до тих просторам, геометрія яких була спочатку розвинена для випадку трьох вимірів і тільки потім узагальнена на число вимірів n > 3, тобто, насамперед до евклідова простору, а також до просторів Лобачевского, Римана, проективному, афінномуу (загальні ж риманови й інші простори були визначені відразу для n-вимірів). Поділу трьох- і багатомірної геометрії має історичне й навчальне значення, тому що задачі ставляться і вирішуються для будь-якого числа вимірів, коли й оскільки це осмислено. Побудова геометрії зазначених просторів для n-вимірів проводиться за аналогією з випадком трьох вимірів. При цьому можна виходити з узагальнення безпосередньо геометричних підстав 3-мірні геометрії, з тієї або іншої системи її аксіом або з узагальнення її аналітичної геометрії, переносячи її основні висновки з випадку трьох координат на довільне n.

Саме так і починалася побудова n-мірної евклідової геометрії. У цей час воліють вихідні з поняття векторного простору.

Історично подання в більш ніж 3-мірному просторі зароджувалася поступово; спочатку - на ґрунті геометричного подання ступенів: а² - «квадрат», а³ - «куб», а⁴ - «біквадрат», а⁵ - «кубоквадрат» і т.д. (ще в Диофанта в 3 в. і далі в ряду середньовічних авторів). Думка в багатомірному просторі виражав И. Кант (1746), а про приєднання до простору в якості 4-й координати часу писав Ж. Д'аламбер (1764). Побудова ж евклідової геометрії було здійснено А. Кели (1843), Г. Грассманом (1844) і Л. Шлефли (1852). Первісні сумніви й містика, зв'язані зі змішанням цих узагальнень із фізичним простором, були переборені, і n-мірний простір як плідне формально-математичне поняття незабаром повністю зміцнилося в математику.

Багатомірні простори виникли шляхом узагальнення, аналогії з геометрією на площині й у тривимірному просторі. На площині кожна крапка задається в системі координат двома числами - координатами цієї крапки, а в просторі - трьома координатами. В n-мірному ж просторі, крапка задається n координатами, тобто записується у вигляді A(x₁, x₂, ..., x_n), де x₁, x₂, ..., x_n - довільні дійсні числа (координати крапки А). На площині система координат має дві осі, у просторі - три, а в n-мірному просторі система координат містить n осей, причому кожні дві із цих осей перпендикулярні один одному. Звичайно, такі простори існують лише в уяві математиків і тих фахівців з інших областей з інших областей знання, які застосовують ці математичні абстракції. Адже реальний простір, у якому ми живемо, математично добре описується тривимірним простором (евклідовим або римановим, але саме тривимірним). Побачити - у буквальному, фізичному змісті цього слова - фігури в чотирьохмірному просторі (а тим більше в просторах більшого числа вимірів) не в змозі ніхто, навіть самий геніальний математик; їх можна бачити тільки думкою.

Існують різні парадокси четвертого виміру. Якщо, наприклад, на площині є кільце (оболонка), а усередині - кружок, то як би ми не рухали цей кружок по площині, вийняти його із цієї оболонки, не розриваючи її, неможливо. Але варто тільки вийти в третій вимір, і кружок легко вийняти з кільця, піднявши його нагору, над площиною, те, не прориваючи оболонку, неможливо вийняти з її ця кулька. Але якби існував четвертий вимір, то можна було б «підняти» кульку над тривимірним простором у напрямку четвертого виміру, а потім покласти його знову в тривимірний простір, але вже поза оболонкою. І те, що це зробити нікому не вдається, приводять як довід проти існування четвертого виміру. Довід помилковий, тому що в ньому поплутані два питання.

Перше питання: чи є в реальному? Відповідь на це питання негативний.

Друге питання: чи можна розглядати чотирьохмірний простір абстрактно, математично? Відповідь стверджувальна.

Немає нічого нелогічного або суперечливого в тім, щоб розглядати четвірки чисел (x₁, x₂, x₃, x₄), досліджувати властивості цих «чотирьохмірних крапок», становити з них фігури, доводити теореми, постійно ладу таким чином, геометрію чотирьохмірного (або, взагалі n-мірного) простору. Але математична несуперечність n-мірної геометрії ще недостатня для судження про цінність цієї теорії.

§2. Поняття векторного багатомірного простору на основі аксіоматики Вейля

У векторній аксіоматиці поняття вектора є одним з основних (необхідних) понять. Поняття числа теж будемо вважати основним поняттям і виходити з того, що теорія дійсного числа відома. Властивості операцій додавання векторів і множення вектора на дійсні числа приймемо за аксіоми. Тоді можна дати аксіоматичне визначення векторного простору.

Нехай V - деяка непуста множина, елементи якого будемо називати векторами, і які можуть бути довільної природи, R - множина дійсних чисел. Уведемо для векторів операції додавання векторів і множення вектора на дійсні числа з R будь-яким двом векторам a і b поставлений у відповідність певний вектор, називана сумою й позначуваний a+b;б) будь-якому вектору a і будь-якому дійсному числу б поставлений у відповідність певний вектор, називана добутком вектора на число й позначуваний через ба. И нехай при цьому виконуються наступні властивості аксіоми:1. a+b=b+a для будь-яких векторів a і b з V ;2. (a+b)+з=a+(b+c), для будь-яких векторів a, b, c V.3. Існує такий вектор О V, що а+О=а;4. Для будь-якого вектора а V існує такий вектор - a V , що а+(- а)=O;5. для будь-яких чисел і V;6. для будь-якого числа R і будь-яких векторів a і b з V;7.1? а = а для будь-якого вектора а V.

Тоді множина V називається дійсним лінійним векторним простором або векторним простором. Уведене визначення не накладає ніяких обмежень на природу елементів множини V, тому можуть існувати різні векторні простори.

Приклади: Векторний простір V₁ - множина в...