Лобачевський М.І. – великий математик

Микола Іванович Лобачевський як відомий російський математик, творець неевклідової геометрії. Його дослідження у галузі геометрії. Походження неевклідової геометрії. Три моделі геометрії Лобачевського: Пуанкаре, Клейна та інтерпретація Бельтрамі.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Лобачевський М.І. - великий математик

1. Дослідження у галузі геометрії

Але світову славу вченого йому принесли геніальні дослідження в галузі геометрії. Він упевнено і наполегливо шукав розв'язання проблеми, яка протягом більш як дві тисячі років вважалася недоступною. Наслідком цих досліджень була праця, яку він 23 лютого 1826 р. подав на засідання фізико-математичного відділу університету. Це була написана французькою мовою доповідь на тему: «Стислий виклад принципів геометрії з точним доведенням теореми про паралельні лінії». У листі до фізико-математичного відділу Лобачевський просив розглянути його працю і, якщо її буде схвалено, надрукувати в «Учених записках університету». Але жодної рецензії не було подано на цю працю Лобачевського, та й сама доповідь зникла. За неї забули, тільки через 8 років у протоколах засідань факультету з'явився запис про передачу доповіді в архів. Тоді ніхто не знав, що саме в цій доповіді Лобачевський виклав своє велике відкриття. Через 3 роки, тобто у 1829 p., Лобачевський опублікував у журналі» Казанский вестник», що видавався співробітниками університету, статтю «Про начала геометрії». У цій статті основні поняття геометрії - точки, прямі, геометричні побудови тощо - Лобачевський пояснював за Евклідом, бо перші 10 аксіом Евкліда він прийняв без змін. Від V постулату Евкліда Лобачевський відходить і будує нову, як він називає, «уявну геометрію».

З цих міркувань випливає низка теорем і наслідків, які різко відмежовують нову геометрію від геометрії Евкліда. Так, кут паралельності в Евкліда завжди прямий, отже, є величиною сталою, а в Лобачевського він завжди гострий і величина його змінюється залежно від довжини перпендикуляра CD. Якщо перпендикуляр збільшується, то кут паралельності зменшується; якщо ж перпендикуляр зменшується до нуля, то кут збільшується, наближаючись до прямого кута. За Евклідом сума внутрішніх кутів трикутника стала і дорівнює 2d, у Лобачевського ця сума змінна і завжди менша за 2d. Із зменшенням трикутника ця сума наближається до 2d. Прямокутника в геометрії Лобачевського не існує. Отже, не існує і квадрата. У геометрії Лобачевського не існує подібних фігур.

Хоч ряд визначних учених тодішньої Росії і не визнавали геометрії Лобачевського, не розуміли її, сам він був твердо переконаний, що така геометрія об'єктивно існує в природі.

Лобачевський розв'язав задачу, яку протягом більш як двох тисяч років марно намагалися розв'язати багато видатних учених-математиків: він довів, що V постулат Евкліда не можна дістати як теорему з інших постулатів і аксіом, які містяться в «Началах» Евкліда. Він довів також, що Евклідова геометрія не є єдино можливою геометрією. Це спростовувало ідею німецького професора Канта про те, що людина народжується з уявленням про зовнішній світ, де діє лише Евклідова геометрія.
Відкриття Лобачевського поставило перед математикою багато нових проблем, зокрема про властивості образів у новій геометрії, про її взаємозв'язок з геометрією Евкліда тощо. Це була справжня революція в науці.

У тодішній Росії найвидатніші математики, такі, як академіки М.В. Остроградський, В.Я. Буняковський, не зрозуміли глибоких ідей нової геометрії. М.І. Лобачевський двічі надсилав свої праці до Петербурзької Академії наук, але, на підставі негативних рецензій М.В. Остроградського, їх не публікували. Проте серед російських учених були й такі, які розуміли суть нових ідей. Так професор Казанського університету П.І. Котельников у 1842 р. виступив на захист геометрії М.І. Лобачевського.

2. Походження неевклідової геометрії

Серед аксіом Евкліда була аксіома про паралельність прямих, а точніше, п'ятий постулат про паралельні лінії: якщо дві прямі утворюють з третьою за одну її сторону внутрішні кути, сума яких менше розгорнутого кута, то такі прямі перетинаються при достатньому продовженні з одного боку.

У сучасній формулюванні вона говорить про існування не більше однієї прямої, що проходить через дану точку поза даною прямою і паралельної цій даної прямої.

Складність формулювання п'ятого постулату породила думку про можливу залежності його від інших постулатів, і тому виникали спроби вивести його з інших передумов геометрії. Всі спроби закінчувалися невдачею. Були спроби докази від протилежного: прийти до протиріччя, припускаючи вірним заперечення постулату. Однак і цей шлях був безуспішним.

Виявилося те, що п'ятий постулат не залежить від попередніх, а значить, його можна замінити на йому еквівалентний. І на початку X I X століття, майже одночасно відразу в декількох математиків: у К. Гаусса в Німеччині, у Я. Больяи в Угорщині та у Н. Лобачевського в Росії, виникла думка про існування геометрії, в якій вірна аксіома, що замінює п'ятий постулат: на площині через точку, не лежить на даній прямій, проходять, принаймні, дві прямі, не перетинають дану.

У силу пріоритету Н. Лобачевського, який першим виступив з цією ідеєю в 1826, і його внеску у розвиток нової, відмінної від евклідової геометрії остання була названа на його честь «геометрією Лобачевського».

Аксіоматика планіметрії Лобачевского відрізняється від аксіоматики планіметрії Евкліда лише однією аксіомою: аксіома паралельності замінюється на її заперечення - аксіому паралельності Лобачевского:

Знайдуться така пряма a і така не лежить на ній точка A, що через A проходять принаймні дві прямі, не перетинають a.

Несуперечність системи аксіом доводиться виглядом моделі, в якій реалізуються дані аксіоми.

3. Три моделі геометрії Лобачевського

Виділяють три різні моделі геометрії Лобачевського: 1) Модель Пуанкаре 2) Модель Клейна 3) Відображення геометрії Лобачевського на псевдосфері (інтерпретація Бельтрамі)

1) Модель Пуанкаре.

У моделі Пуанкаре на евклідової площини E фіксується горизонтальна пряма x. Вона носить назву «абсолюту». Точками площині Лобачевського вважаються точки площини E, що лежать вище абсолюту x. Таким чином, в моделі Пуанкаре площину Лобачевського - це полуплоскость L, що лежить вище абсолюту. Прямими площині L вважаються півкола з центрами на абсолюті або промені з вершинами на абсолюті і перпендикулярні йому.

Фігура на площині Лобачевского - це фігура напівплощини L. Належність точки фігурі розуміється так само, як і на евклідової площини E. При цьому відрізком площині L вважається дуга кола з центром на абсолюті або відрізок прямої, перпендикулярної абсолюту (рис. 1). Точка K лежить між точками C і D, означає, що K належить дузі CD. В умовах нашої моделі це еквівалентно тому, що K 'лежить між C' і D ', де C', K 'і D' - проекції точок C, K і D відповідно на абсолют. Щоб ввести поняття рівності неевклідових відрізків в моделі Пуанкаре, визначають неєвклидова руху в цій моделі. Неевклідових рухом називається перетворення L, яке є композицією кінцевого числа інверсій з центрами на абсолюті і осьових симетрій площині E, осі яких перпендикулярні абсолюту. Інверсії з центром на абсолюті і осьові симетрії

Рисунок 1 площині E, осі яких перпендикулярні абсолюту, називають неевклідових симетріями. Два неевклідових відрізки називають рівними, якщо один з них неевклідових рухом можна перевести в другій.

2) Модель Клейна.

За площину приймається будь-якої коло за точки - точки належать цьому колі, за прямі - хорди - звичайно, з виключенням решт, оскільки розглядається тільки внутрішність круга. За переміщення приймаються перетворення кола, що переводять його в себе і хорди - в хорди. Відповідно, «конгруентними» називаються фігури, перекладні один в одного такими перетвореннями.

Очевидно, що в межах певної частини площині (кола), як би ця частина не була велика, можна провести через дану точку С безліч прямих, не перетинають даної прямої. Всередині кола будь-якого кінцевого радіуса існує безліч прямих (тобто хорд), що проходять через т. С і не зустрічаючих прямий АВ. Будь-яка теорема планіметрії Лобачевского є в цій моделі теоремою геометрії Евкліда і, назад, всяка теорема геометрії Евкліда, що говорить про фігури всередині даного кола, є теоремою геометрії Лобачевського. Це загальне твердження доводиться перевіркою справедливості в моделі аксіом геометрії Лобачевського. Тому, якщо в геометрії Лобачевського є протиріччя, то це ж протиріччя є і в геометрії Евкліда.

Далі, всяка теорема геометрії Лобачевського описує в моделі Клейна деякі факти, що мають місце всередині кола. Саме факти, якщо ми беремо не абстрактний коло, а реальний коло і реальні хорди і інтерпрітіруем теореми як твердження про ці реальні речі, взяті, звичайно, з тією точністю, яка доступна для наших побудов. Таким чином, геометрія Лобачевського в моделі Клейна має цілком реальний сенс з тією точністю, з якою взагалі має сенс геометрія в застосуванні до реальних тіл.

3) Відображення геометрії Лобачевського на псевдосфері (інтерпретація Бельтрамі)

Еудженіо Бельтрамі (1835-1900) знайшов модель для неевклідової геометрії, показавши у своїй роботі «Досвід інтерпретації неевклідової геометрії» (1868 г.), що поряд з площинами, на яких здійснюється евклідова геометрія, і сферичними поверхнями, на які діють формули сферичної геометрії, існують і такі реальні поверхні, названі ним псевдосфера, на яких частков...