Дифференциальная геометрия

Определение понятия элементарной, простой и общей поверхности. Аналитическое задание и специальные параметризации поверхности. Первая квадратичная форма поверхности, расчет кривых и угла между ними. Конформное отображение, изометрические площади.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Курсовая работа

«Дифференциальная геометрия»



Теоретическая часть. Вариант задания: №7

Понятие поверхности

Элементарная поверхность. Простая поверхность. Общая поверхность.

Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при топологическом отображении. Таким образом - это область гомеоморфная кругу.

Множество Ф точек пространства называется элементарной поверхностью, если оно является образом элементарной области на плоскости при топологическом отображении ее в пространство.

Пусть Ф - элементарная поверхность и G - элементарная область в плоскости, образом которой при топологическом отображении f является поверхность Ф. Пусть u и v - декартовы координаты произвольной точки, принадлежащей области, x, y, z - координаты соответствующей точки поверхности. Координаты x, y, z точки поверхности являются функциями координат точки области G:

Эту систему равенств, задающую отображение f области G в пространство, называют уравнениями поверхности в параметрической форме; u и v называют криволинейными координатами на поверхности.

Уравнения (*) при фиксированном u или v задают кривую, лежащую на поверхности. Эти кривые называются координатными линиями.

Множество Ф точек пространства называется простой поверхностью, если это множество связано и каждая точка X этого множества имеет окрестность G такую, что часть Ф, расположенная в G, является элементарной поверхностью.

Если из произвольной простой поверхности удалить любое замкнутое множество точек, но так, чтобы не нарушить связности оставшейся части, то эта оставшаяся часть будет также простой поверхностью.

Окрестностью точки X на простой поверхности Ф называется общая часть поверхности Ф и некоторой пространственной окрестности точки X.

Если простая поверхность является конечной, то она называется замкнутой.

Регулярная поверхность. Аналитическое задание поверхности

Поверхность Ф называется регулярной (k раз дифференцируемой), если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию, т.е. задание уравнениями в параметрической форме

Где - регулярные (k раз непрерывно дифференцируемые) функции, заданные в элементарной области G плоскости uv. При k = 1 поверхность называется гладкой.

Поверхность называется аналитической, если она в достаточно малой окрестности каждой своей точки допускает аналитическую параметризацию (функции - аналитические).

Далее рассматриваются только регулярные поверхности.

Теорема. Если x(u,v), у(u,v), z(u,v) - регулярные функции в области G плоскости

uv, удовлетворяющие условию, что ранг матрицы



всюду в G равен двум, то система равенств

Задает некоторую поверхность Ф. Эта поверхность есть образ простой поверхности G при локально топологическом отображении, которое точке (и,v) области G сопоставляет точку пространства с координатами х(и,v), у (и,v), z(u,v).

Поверхность Ф неявно задана уравнением

ц(х, у, z)=0,

если координаты точек поверхности удовлетворяют данному уравнению.

Теорема. Пусть ц(ху, z) - регулярная функция переменных х, у, z. Пусть М - множество точек пространства, удовлетворяющих уравнению ц(х, у, z)=0, () - точка этого множества, в которой 0. Тогда у точки () есть окрестность такая, что все точки множества М, принадлежащие этой окрестности, образуют регулярную элементарную поверхность.

Специальные параметризации поверхности

Регулярная поверхность в окрестности каждой своей точки допускает бесчисленное множество параметризаций.

Особые точки регулярной поверхности/

Точка P регулярной поверхности называется обыкновенной точкой по отношению к данной степени регулярности k, если поверхность допускает k раз дифференцируемую параметризацию

в окрестности этой точки, удовлетворяющую условию: ранг матрицы

в точке Р равен двум. В противном случае точка Р называется особой. Линия на поверхности, все точки которой являются особыми точками, называется особой линией.

Пусть

регулярная параметризация поверхности в окрестности точки Q. Пусть ранг матрицы

всюду в окрестности Q равен двум, кроме самой точки Q, в которой он меньше двух.

Будем пользоваться векторной записью уравнения поверхности , где r(u,v)=x(u,v) ( - единичные векторы, направленные по осям x, y, z). Тогда условие того, что ранг матрицы равен двум или меньше двух, сводится к тому, что или соответсвенно.

Введем рассмотрение вектор-функцию

Проверяется, что она инвариантна относительно преобразования координат с якобианом большим нуля. Если же якобиан меньше нуля, то эта функция меняет только знак.

Точка Q поверхности будет заведомо особой, если не стремится к определенному пределу при PQ. В самом деле, если Q обыкновенная точка, то в ее окрестности может быть введена регулярная параметризация (б, в) такая, что в точке Q и, следовательно, при PQ

стремится к определенному пределу.

Основные понятия для поверхностей, связанные с понятием соприкосновения

Касательная плоскость поверхности.

Пусть Ф - поверхность, Р - точка на ней и б - плоскость, проходящая через точку Р. Возьмем на поверхности точку Q и обозначим ее расстояния от точки Р и плоскости б через d и h соответственно.

Плоскость б называется касательной плоскостью поверхности в точке Р, если отношение , когда Q.



Теорема. Гладкая поверхность Ф имеет в каждой точке касательную плоскость и притом единственную.

Если какая-нибудь гладкая параметризация поверхности, то касательная плоскость в точке паралельна векторам и .

Нормалью поверхности в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Лемма о расстоянии точки от поверхности. Соприкосновение кривой и поверхности.

Пусть Ф - поверхность и Q - произвольная точка пространства. Расстоянием точки Q от поверхности Ф называется точная нижняя грань расстояний точек поверхности от точки Q.

Лемма. Пусть Ф - гладкая поверхность, заданная уравнением ц(х, у, z)=0. Пусть в точке O() поверхности 0.

Если Q(x, у, z) - точка пространства, близкая к точке О, но не принадлежащая поверхности, то при подстановке координат точки Q в уравнение поверхности Ф, получается величина л, имеющая порядок величины h - расстояния точки Q от поверхности в том смысле, что отношение стремится к определенному пределу, отличному от нуля, когда точка Q неограниченно приближается к О, оставаясь вне поверхности.

Пусть Ф - элементарная поверхность и г - элементарная кривая, имеющие общую точку О. Пусть h - расстояние произвольной точки Q кривой от поверхности. Мы будем говорить, что кривая г с поверхностью Ф имеет соприкосновение порядка n, если , когда QP.

Теорема. Пусть Ф -- элементарная регулярная поверхность и г - регулярная кривая, имеющие общую точку О. Пусть ц(х, у, z)=0 - уравнение поверхности в окрестности точки О, причем 0 в точке O; - регулярная параметризация кривой г в окрестности точки O, причем в точке O.

Тогда для того, чтобы кривая г имела с поверхностью Ф в точке О соприкосновение порядка п, необходимо и достаточно, чтобы при t, соответствующем точке О, выполнялись условия

Соприкасающийся параболоид. Классификация точек поверхности

Пусть Ф - регулярная (дважды непрерывно дифференцируемая) поверхность и Р - точка на ней. Пусть U - параболоид с вершиной Р, касающийся поверхности в этой точке. Обозначим h и d расстояния произвольной точки Q поверхности от параболоида и точки Р соответственно.

Параболоид U называется соприкасающимся параболоидом поверхности в точке Р, если отношение , когда

Теорема. В каждой точке Р регулярной (дважды непрерывно дифференцируемой) поверхности Ф существует и притом единственный соприкасающийся параболоид U, в частности, вырождающийся в параболический цилиндр или плоскость.

Классификация точек поверхности (из существования и единственности соприкасающегося параболоида):

Точка поверхности называется эллиптической, если соприкасающийся параболоид в этой точке является эллиптическим параболоидом.

Точка поверхности называется гиперболической, если соприкасающийся параболоид в этой точке является гиперболическим параболоидом.

Точка поверхности называется параболической, если соприкасающийся параболоид в этой точке вырождается в параболический цилиндр.

Точка поверхности называется точкой уплощения, если соприкасающийся параболоид в этой точке вырождается в плоскость (касательную плоскость поверхности).

Подобно тому как касательная плоскость поверхности воспроизводит форму поверхности в окрестности точки касания в первом приближении, соприкасающийся параболоид воспроизводит ее во втором приближении.

Первая квадратичная форма поверхности

Пусть Ф - регулярная поверхность, r = r(u, v) - какая-нибудь ее регулярная параметриза...