программный линейный уравнение хорда

В современном производстве значительная роль отводится разработкам на компьютере.

Сейчас невозможно представить себе инженера, занимающегося разработкой новых конструкций без использования ЭВМ. Практически ни одно даже самое мелкое предприятие сейчас не обходится без компьютерной техники. Компьютер является мощнейшим средством для реализации различных проектов. Однако, без необходимого программного обеспечения компьютер не в состоянии сделать ничего. Каждый инженер должен уметь не только пользоваться компьютером, но и составлять для него программы, решая конкретные задачи для реально сложившихся условий.

Все в мире программирования основано на взаимодействии человек - ЭВМ и осуществляется при помощи языков программирования. Однако в последнее время появились и стандартные средства, которые значительно облегчают работу разработчика. Одним из таких пакетов является MathCad. Данный программный продукт предоставляет значительные возможности для разработки программ для решения инженерных задач. Созданные в пакете расчетные модели отличаются простотой и наглядностью, а также легко корректируются.

Цель курсовой работы - вычисление корней нелинейного уравнения с заданной точностью.

1. Теоретические сведения к работе

В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать в виде:

, (1)

где  - некоторая непрерывная функция аргумента x.

Всякое число , обращающее функцию  в нуль, т.е. при котором , называется корнем уравнения (1).

При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси x, в пределах которых содержится один единственный корень, и уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.

Для отделения корней уравнения (1) необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке  имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке. Если функция  непрерывна на отрезке , а на концах отрезка её значения имеют разные знаки , то на этом отрезке расположен, по крайней мере, один корень. Это условие (как видно из рисунка 1) не обеспечивает единственности корня. Достаточным дополнительным условием, обеспечивающем единственность корня на отрезке  является требование монотонности функции на этом отрезке. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условием знакопостоянства первой производной .

Рисунок 1 - Отделение корней. Функция f(x) не монотонна на отрезке [a, b]

Таким образом, если на отрезке  функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то на рассматриваемом отрезке существует один и только один корень. Заметим, что под этот критерий не подпадают кратные корни уравнений, например, очевидный корень уравнения

Воспользовавшись этим критерием можно отделить корни аналитическим способом, находя интервалы монотонности функции.

Отделение корней можно выполнить графически, если удается построить график функции [4, стр. 119].

1.2 Уточнение корней методом половинного деления

Рисунок 2 - Метод половинного деления

Считаем, что отделение корней уравнения (1) проведено и на отрезке  расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью e. В качестве начального приближения корня принимаем середину этого отрезка:  (рис. 2). Затем исследуем значение функции  на концах отрезков  и . Тот из отрезков, на концах которого  принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка  (на рис. 2 это отрезок ). Вторую половину отрезка , на которой  не меняет знак, отбрасываем. В качестве следующего приближения корня принимаем середину нового отрезка  и т.д. Таким образом, k-е приближение вычисляется как

. (2)

После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k итераций в  раз:

. (3)

Прекратить итерационный процесс следует, когда будет достигнута заданная точность, т.е. при выполнении условия

. (4)

Поскольку корень  принадлежит отрезку , а  - середина этого отрезка, то величина  всегда будет меньше половины длины отрезка  (см. рис. 2), т.е.

. (5)

Следовательно, условие (4) будет выполнено, если

. (6)

Таким образом, итерационный процесс нужно продолжать до тех пор, пока не будет выполнено условие (6).

В отличие от большинства других методов уточнения, метод половинного деления сходится всегда, т.е. обладает безусловной сходимостью. Кроме этого он чрезвычайно прост, поскольку требует лишь вычисления значений функции  и, поэтому применим для решения любых уравнений.

Однако метод половинного деления довольно медленный. С каждым шагом погрешность приближенного значения уменьшается в два раза, т.е.

, (7)

поэтому данный метод является методом с линейной сходимостью.

Вычислим количество итераций N, требуемое для достижения заданной точности e. Пользуясь выражением (3) можно выяснить для каких значений k будет выполнено условие (6), и взять в качестве N наименьшее из таких k:

, , (8)

где  - целая часть числа x. Например, при  и  получим .

Замечание. При реализации метода следует учитывать, что функция  вычисляется с некоторой абсолютной погрешностью . Вблизи корня значения функции  малы по абсолютной величине и могут оказаться сравнимы с погрешностью ее вычисления. Другими словами, при подходе к корню мы можем попасть в полосу шумов  и дальнейшее уточнение корня окажется невозможным. Поэтому целесообразно задать ширину полосы шумов и прекратить итерационный процесс при попадании в нее. Если принять , то итерационный процесс можно завершать, когда значение функции  после k-й итерации станет меньшим по модулю ?., т.е.

. (9)

Также необходимо иметь ввиду, что при уменьшении интервала  увеличиваются погрешности вычисления его длины  за счет вычитания близких чисел [1, стр. 185].

1.3 Уточнение корней методом хорд

Рисунок 3 - Метод хорд

Рассматриваемый метод так же, как и метод половинного деления, предназначен для уточнения корня на интервале , на концах которого функция  принимает значения разных знаков. Очередное приближение в отличие от метода половинного деления берем не в середине отрезка, а в точке , где пересекает ось абсцисс прямая линия (хорда), проведенная через точки А и В (рис. 3).

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки А и В:

.

Для точки пересечения прямой с осью абсцисс () получим уравнение

. (10)

В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбираем тот из двух  и , на концах которого функция  принимает значения разных знаков. Для рассматриваемого случая (рис. 3) выбираем отрезок , так как . Следующая итерация состоит в определении нового приближения  как точки пересечения хорды  с осью абсцисс и т.д.

Заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние между очередными приближениями станет меньше заданной точности, т.е.

(11)

или при выполнении условия (9).

Рисунок 4 - О сходимости метода хорд

Замечание. Метод половинного деления и метод хорд очень похожи, в частности, процедурой проверки знаков функции на концах отрезка. При этом второй их них в ряде случаев дает более быструю сходимость итераци...