Напряжения и токи электрических цепей

Электрическая цепь при последовательном и параллельном соединении элементов с R, L и C, их сравнительные характеристики. Треугольник напряжений и сопротивлений. Понятие и свойства резонанса токов и напряжений, направления и особенности его регулирования.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Реферат

Напряжения и токи электрических цепей



1. Электрическая цепь при последовательном соединении элементов с R, L и C

R, L, C - это параметры электрической цепи, причем активное сопротивление R характеризует активный (необратимый) процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии, а индуктивность L и емкость C - обратимый процесс преобразования энергии электромагнитного поля.

Размещено на

Размещено на

Под действием напряжения источника питания в цепи возникает ток i. Ток создает падения напряжения на элементах цепи: - на элементе с активным сопротивлением; - на элементе с индуктивностью; - на элементе с емкостью. По второму закону Кирхгофа для данной цепи запишем

или

В результате решения данного уравнения найдем .

Найдем частное решение данного уравнения, то есть ток установившегося режима. Так как правая часть этого уравнения - синусоидальная функция, то и частное решение следует искать в виде синусоидальной функции

.

Функция полностью определена, если известны амплитуда тока I_m и угол сдвига фаз ц между напряжением и током. Найдем эти величины.

Как было показано ранее, напряжение изображается комплексным числом ; ток - комплексным числом ; производная - комплексным числом ; интеграл - комплексным числом .

Перейдем от дифференциального уравнения к алгебраическому уравнению в комплексной форме

.

После преобразования имеем

а разделив обе части уравнения на , получим аналогичное линейное алгебраическое уравнение для комплексных действующих значения:



Коэффициент

является полным сопротивлением цепи в комплексной форме. Вещественная составляющая R полного сопротивления равна активному сопротивлению цепи, а мнимая составляющая X называется её реактивным сопротивлением. Реактивное сопротивление цепи равно разности индуктивного и емкостного сопротивлений:

.

; ,

откуда комплексное полное сопротивление

,

где модуль полного сопротивления

.

Таким образом, модуль полного сопротивления цепи равен отношению модулей действующих значений напряжения и тока, а аргумент комплексного сопротивления - сдвигу фаз ц между векторами напряжения и тока.

Модуль полного сопротивления цепи



то есть, полное сопротивление цепи равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений.

Можем найти амплитуду тока, определяющую функцию

.

Теперь, если воспользоваться равенством

,

можно определить угол сдвига фаз ц

.

Таким образом, значение угла ц зависит от соотношения между реактивным X и активным R сопротивлениями. Чем больше реактивное сопротивление, тем больше угол ц. Знак угла ц зависит от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями. Если , то угол ц положительный и ток можно определить по формуле , откуда видно, что ток отстает по фазе от напряжения на угол ц. Если , то угол ц отрицательный и ток , то есть опережает по фазе напряжение на угол ц.

На рисунке показано, как изменяются напряжение и ток в цепи с последовательно соединенными активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями при условии :



Размещено на

Размещено на

При построении векторной диаграмм в качестве начального удобно выбрать вектор тока, так как при последовательном соединении ток во всех элементах один и тот же. Как было условлено, начальный вектор совмещаем с положительным направлением мнимой оси (здесь и далее оси обозначать не будем).

Размещено на

Размещено на

Падения напряжения в комплексной форме на участке цепи с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями соответственно

; ; .

Вектор на участке с активным сопротивлением совпадает по фазе с вектором , и на векторной диаграмме его проводим в направлении тока. Падение напряжения на участке с индуктивностью опережает ток по фазе на угол р/2, причем поворачивать вектор надо против часовой стрелки по отношению к вектору . Падение напряжения на участке с емкостью отстает от тока на угол р/2, причем следует повернуть на угол 90^є по направлению вращения часовой стрелки по отношению к вектору .

По второму закону Кирхгофа можно написать уравнение

.

Для нахождения вектора полного напряжения цепи к концу вектора пристраиваем вектор путем параллельного переноса, а к концу вектора пристраиваем вектор . Вектор полного напряжения соединяет начало координат с концом вектора (последнего слагаемого вектора).

Поскольку векторная диаграмма построена для случая, когда (следовательно, и ), ток в цепи отстает по фазе на угол ц от полного напряжения, комплексное значение которого .

2. Треугольник напряжений и сопротивлений

Если электрическая цепь состоит из последовательно соединенных элементов с активным и реактивным сопротивлениями, то векторная диаграмма напряжений имеет вид прямоугольного треугольника. Гипотенуза этого треугольника равна полному напряжению U, а катеты треугольника - активной и реактивной U_р составляющим полного напряжения, причем

Из треугольников напряжений можно получить ряд важных соотношений между напряжениями:

;

где

;

.

Если начальный вектор расположен горизонтально, то при треугольник напряжений находится сверху от него и снизу при . После деления всех сторон треугольника напряжений на ток I получим треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений:

; ; .

Размещено на

Размещено на

Из треугольника сопротивлений можно получить соотношения

; ,



а также известные уже равенства

; .

3. Резонанс напряжений

При последовательном соединении элементов с R, L и C ток в цепи

.

Из всех возможных соотношений между индуктивным X_L и емкостным X_C сопротивлениями особый интерес представляет случай, когда эти сопротивления равны, то есть . В этом случае реактивное сопротивление цепи и полное сопротивление минимально. Тогда ток в цепи и при , значение его максимально.

Напряжения на индуктивном и емкостном элементах в комплексной форме , а по значению . Следовательно

; .

Таким образом, напряжения на индуктивном и емкостном элементах могут превышать напряжение сети в раз, если . Сдвиг по фазе между напряжениями и равен р, то есть эти напряжения находятся в противофазе.

Такой режим цепи при последовательном соединении с R, L и C, когда , а напряжения на индуктивном () и емкостном () элементах, находящихся в противофазе, равны по значению и могут превышать напряжение всей цепи, носит название режима резонанса напряжений.

Векторная диаграмма напряжений для режима резонанса представлена на рисунке.

Размещено на

Размещено на

Реактивная составляющая напряжения равна нулю; следовательно, полное напряжение , а угол сдвига фаз ; .

Активная мощность такой цепи , а реактивная . Реактивные же мощности индуктивной катушки () и конденсатора () не равны нулю: их мгновенные значения в любой момент времени равны между собой, но обратны по знаку. Происходит непрерывный обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора.

Равенство индуктивного и емкостного сопротивлений

можно добиться, изменяя угловую частоту щ, индуктивность L или емкость С. Угловая частота, при которой наступает резонанс напряжений



.

При этой, резонансной, частоте ток в цепи достигает максимального значения.

Явление резонанса широко используют в устройствах радиотехники, телевидения, автоматики и других электроустройствах. Если электрическая цепь имеет параметры L и C такие, что резонансной для цепи является частота , то ток этой частоты будет иметь максимальное значение. Поскольку резонансные явления связаны со значительным увеличением напряжения на элементах с индуктивностью и емкостью, это может привести к пробою их изоляции.

4. Электрическая цепь при параллельном соединении элементов с R,