Анализ электрической цепи

Составление уравнений состояния цепи, построение графиков полученных зависимостей. Решения дифференциальных уравнений методом Эйлера. Анализ цепи операторным и частотным методами при апериодическом воздействии. Характеристики выходного напряжения и тока.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Министерство Образования Российской Федерации

Хабаровский Государственный Технический Университет

Курсовая работа

по электротехнике

Хабаровск, 2004 г.

1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния

при постоянных воздействиях

1.1 Составить уравнения состояния цепи для t і--0.

Схема соответствующая варианту 3, имеет вид:

3 вариант	R=1103	L=7.510-3	C=7,510-9	R=2103	R=1103	R=6103

e(t) = const = E = 5 В.

I(t) = I*1(t) = 2*1(t) А.

Определим независимые начальные условия для исследуемой электрической цепи.

Моменту времени до коммутации (отсутствует источник тока, катушка вырождается в провод, на месте конденсатора - обрыв соединения, так как протекает постоянный ток; источник тока играет роль ключа: I(t)=2*1(t) ) соответствует схема:

Используя 1-ый и 2-ой законы Кирхгофа, составим систему уравнений для вышеуказанной схемы (направление обхода контура выберем в соответствии движению часовой стрелки):

Откуда находим: iL(0) = e(t)/R1=E/R1=5/1000=5*10-3 А.

UC(0) = 0 В.

Очевидно данное решение можно получить из анализа топологии схемы - в нашем случае весь ток пойдет по ветви с катушкой, так как ее сопротивление значительно меньше, чем например конденсатора, напряжение на котором будет равным нулю.

Таким образом, получаем матрицу независимых начальных условий:



Используя 1-ый и 2-ой законы Кирхгофа, составим систему уравнений для исходной схемы:

В соответствии с методом переменных состояния, перепишем систему в дифференциальном виде.

Для C элемента запишем ЗТК (), для L элемента ЗНК ().

Полученная система имеет вид:

Решая данную систему относительно неизвестных переменных состояния (iL, UC):

1. Выразим из 1-го уравнения

, подставим в остальные уравнения

Очевидно те неизвестные, которые не интересуют нас и которые были уже подставлены в другие уравнения могут быть исключены из системы.

2. Выразим из 2-го уравнения

, подставим в остальные уравнения

3. Выразим из 3-го уравнения

, подставим в остальные уравнения, упростим

4. Выразим из 4-го уравнения

, подставим в остальные уравнения, упростим

цепь уравнение дифференциальный график ток

5. Выразим из 5-го уравнения

, подставим в остальные уравнения, упростим

6. Выразим из 6-го уравнения

, подставим в остальные уравнения, упростим

7. Выразим из 7-го уравнения

Откуда:

1.2 Найти точные решения уравнений состояния

Запишем полученные уравнения в матричной форме вида:

(Заметим, что число элементов данной матрицы равно числу реактивных элементов в исследуемой электрической цепи),

матрица соединений, которая содержит элементы, связывающие iL, UC,

,

,

(из условия)

- матрица, учитывающая внешние источники.

Таким образом, получаем:

1.3 Найти решения уравнений состояния, используя по выбору

студента один из численных методов. Вид решаемых уравнений

Записываем решение для переменных состояния через экспоненциальную матричную функцию:

Так как, в нашем случае, матрица F = const, то вид уравнения упрощается:

где - матрица обратная матрице A

Найдем собственные значения матрицы A:

Откуда

Разложим экспоненциальную матричную функцию в ряд Тейлора:

Число элементов разложения равно числу переменных состояния (=2).

Находим через найденные выше собственные значения:

Откуда

С учетом , получим:

;

Получаем функции состояния:

Построим графики полученных зависимостей:

Рис. 1.1. График зависимости тока на катушке от времени

Рис.1.2. График зависимости напряжения на конденсаторе от времени.

1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния,

совместив их попарно на графике для каждой из переменных состояния

В качестве метода решения дифференциальных уравнений используем метод Эйлера:

где . Решим дифференциальные уравнения:

Результаты численного решения:

Графики соответствующие полученным данным имеют вид:

График зависимости тока на катушке от времени (синим пунктиром показан график соответствующий численному решению)

Рис.1.3 Графики зависимости тока на катушке от времени.

График зависимости напряжения на конденсаторе от времени (синим пунктиром показан график соответствующий численному решению).

Рис.2 Графики зависимости напряжения на конденсаторе от времени.

2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом

воздействии

Источник тока отсутствует; входное напряжение имеет зависимость следующего вида:

Um, B	tu, c
10	610-5

Параметры для данного варианта:

Исследуемая схема имеет вид:

1. В соответствии с законами Кирхгофа, составим уравнения для данной схемы:

2. Запишем систему в операторном виде, произведя следующие замены:

=>

3. Определим функцию передачи.

Передаточные (системные) функции цепи могут быть определены как отношение выходной величины ко входной. В зависимости от того какие величины входят в определение передаточной функции различают: передаточные функции по напряжению, по току, передаточные сопротивления и проводимости. Функция передачи по току может быть представлена в виде: HU (p) = UН (p)/Uвх(p), где UН (p) и Uвх(p) операторные изображения выходного и входного сигналов, соответственно.

, где

Из составленной выше системы найдем ток , используя аналогичные расчеты из 1-ой части:

Тогда:

4. Найдем нули и полюса функции передачи.

Нули:

Полюса:

Нетрудно заметить, что полюсы передаточной функции p_1,2 совпадают с собственными значениями l_1,2----??матрицы A. Это может быть дополнительным способом проверки правильности нахождения передаточной функции цепи. Наиболее наглядным способом охарактеризовать передаточную функцию является графическое расположение ее полюсов и нулей на комплексной плоскости, называемое диаграммой полюсов-нулей.

нули функции передачи	полюса функции передачи

Тип используемых элементов, а также структура цепи ограничивают области комплексной плоскости в которых могут располагаться нули и полюсы. В линейной пассивной цепи с потерями (с резистивными элементами) полюсы передаточной функции лежат в левой полуплоскости. Только при этом условии свободные составляющие токов и напряжений затухают. При отсутствии потерь (резистивных элементов) все корни знаменателя будут чисто мнимыми. Нули передаточной функции, корни числителя, при учете потерь могут располагаться в любой части комплексной плоскости. Их положение не связано с характером изменения во времени свободных составляющих токов и напряжений. Отсутствие нулей передаточной функции на мнимой оси физически означает, что при любой частоте гармонического напряжения на входе цепи на выходе будет какое-то напряжение. При отсутствии резистивных элементов все корни числителя передаточной функции (так же как и знаменателя) находятся на мнимой оси. Передаточные функции, полюса которых не лежат в правой полуплоскости комплексной плоскости, называются устойчивыми.

Знание передаточной функции цепи H_U (p) позволяет определить переходную h1(t) и импульсную h_d(t)-- ?характеристики цепи.

5. Найдем переходную и импульсную характеристики

Переходная характеристика цепи представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной ступенчатой функции (функции Хэвисайда 1(t), функции включения) и может быть найдена как обратное пр...