Теорема Кастильяно
Краткое сожержание материала:
Размещено на
14
Размещено на
Введение
Теорема Кастильяно:
Если потенциальная энергия деформации U упругой системы представлена в виде функции статически независимых внешних сил Р, то частные производные этой функции относительно любой из этих сил дают действительные перемещения точки приложения этой силы по линии ее действия. Это и есть общеизвестная теорема Кастильяно.
1. Постановка задачи
К балке пролётом 2l, защемлённой левым концом, на правом конце приложена сила F. Диаметр одной части балки d1, другой - d2.
Определить прогибы балки f при различных значениях силы F (весом балки пренебречь).
Размещено на
14
Размещено на
Исходные данные:
l=0,6 м
d1=0,13 м
d2=0,1 м
Е=0,49*105МПа, F1=1000H
F2=2000H
F3=5000H
Количество участков разбиения интервалов [0, l] и [l, 2l] n=30
2. Математическая модель решения задачи
Для определения прогиба используем теорему Кастильяно: частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщённой силе равна соответствующей обобщённой координате.
Для консольной балки, на свободный конец которой действует сосредоточенная сила, обобщённой координатой является прогиб ѓ, равный
где Е - модуль упругости, J - момент инерции площади поперечного сечения балки.
Т.к. , , то .
Выражение для величины искомого прогиба балки переменного сечения имеет следующий вид:
где J1 - момент инерции первого поперечного сечения, J2 - момент инерции второго поперечного сечения.
Для первого пролёта с интервалом [0, l]:
Разобьём отрезок интегрирования [0, l] на n равных участков длиной . Полученные точки разбиения пронумеруем от 1 до n+1. Используем переменную i для определения номера промежуточной точки. Для i=1,…, n+1, найдём x1i по формуле:
;
Находим значения функций y1i:
;
Затем задаём Int1:
Int1=0;
Находим Int1 для i=2, …, n+1 для пролёта:
;
Для второго пролёта с интервалом [l, 2l]:
Разобьём отрезок интегрирования [l, 2l] на n равных участков длиной . Полученные точки разбиения пронумеруем от 1 до n+1. Используем переменную i для определения номера промежуточной точки. Для i=1,…, n+1, найдём x2i по формуле:
;
Находим значения функций y2i:
;
Затем задаём Int2:
Int2=0;
Находим Int2 для i=2, …, n+1 для пролёта:
;
Подставляем полученные значения в начальную формулу и находим прогибы балки при различных значениях силы F для i=1…3:
3. Алгоритм решения задачи
1. Ввод исходных данных l, d1, d2, E, n.
2. Вводим массив F.
3. Вычисляем J1 и J2 по формуле:
и .
4. Разобьём отрезок интегрирования [0, l] на n равных участков длиной:
.
5. Для первого пролёта i=1,…, n+1:
5.1. Найдём x1i по формуле:
;
5.2. Находим y1i:
;
6. Затем задаём Int1:
Int1=0;
7. Находим Int1 для i=2, …, n+1:
;
8. Разобьём отрезок интегрирования [l, 2l] на n равных участков длиной:
;
9. Для второго пролёта i=1,…, n+1:
10. найдём x2i по формуле:
;
10.1. Находим y2i:
;
11. Затем задаём Int2:
Int2=0;
12. Находим Int2 для i=2, …, n+1:
;
13. Для i=1,…, 3:
14. Выводим значение прогиба балки fi на экран для каждого значения .
4. Схема алгоритма
Размещено на
14
Размещено на
Размещено на
14
Размещено на
Размещено на
14
Размещено на
Размещено на
14
Размещено на
5. Таблица идентификаторов
Наименование |
Физический смысл |
Идентификатор |
|
Длина |
l |
l |
|
Диаметр |
d |
d |
|
Момент инерции |
J |
J |
|
Модуль упругости |
E |
E |
|
Сила |
F |
F |
|
Прогиб балки |
f |
Fi |
6. Файл исходных данных
0.6 0.13 0.1 49000000000 3.14 30
1000
2000
5000
программа теорема кастильяно прогиб
7. Текст программы
Program curs18;
uses crt;
type mas=array [1..100] of real;
var n, i:integer;
t, l, d1, d2, e, j1, j2, k, int1, int2:real; f, fi, x1, x2, y1, y2:mas;
s1, s2:text;
begin
clrscr;
assign (s1,'dano.pas');
assign (s2,'rezult.pas');
reset(s1);
readln (s1, l, d1, d2, e, n);
for i:=1 to 3 do
readln (s1, f[i]);
close(s1);
j1:=(pi*d1*d1*d1*d1)/32;
j2:=(pi*d2*d2*d2*d2)/32;
k:=(l-0)/n;
for i:=1 to n+1 do
begin
x1 [i]:=(i-1)*k;
y1 [i]:=x1 [i]*x1 [i]
end;
int1:=0;
for i:=2 to n+1 do
int1:=int1+(((y1 [i-1]+y1 [i])/2)*k);
t:=(2*l-l)/n;
for i:=1 to n+1 do
begin
x2 [i]:=l+(i-1)*t;
y2 [i]:=x2 [i]*x2 [i]
end;
int2:=0;
for i:=2 to n+1 do
int2:=int2+(((y2 [i-1]+y2 [i])/2)*t);
rewrite(s2);
writeln (s2,' ':10,'kursova9 rabota');
writeln (s2,' ':12,'variant 18');
writeln (s2,'studenta gruppi 103538 Jeludovskogo Evgeni9');
writeln(s2);
for i:=1 to 3 do
begin
fi[i]:=(f[i]/(e*j1))*int1+(f[i]/(e*j2))*int2;
writeln (s2,'f [', i, ']=', f[i]:5:0,' H fi [', i, ']=', fi[i]:10:7,' m ')
end;
close(s2);
repeat until keypressed
end.
8. Результаты решения задачи
Графическое представление результатов
9. Анализ результатов
Результаты показывают, что увеличение прогиба балки прямопропорционально увеличению силы, приложенной к концу балки.
Литература
Информатика: метод. пособие к лабораторным работам для студ. машиностроит. спец.: в 4 ч./ П.П. Анципорович [и др.]. - 2-е изд., испр. и доп. - Минск: БНТУ, 2008. - Ч. 4. - 85 с.
Сложное движение точки
Исследование движения точки по отношению к двум системам координат. Абсолютная и относительная величины вектора. Теорема о сложении скоростей. Теорема...
Теорема Котельникова и поперечники в среднем
Теорема отсчетов Котельникова-Шеннона и ее обобщения. Постановки задач теории приближения. Сигналы с дискретным временем. Характеристики наилучших при...
Векторное исчисление в теоретической механике
Векторы угловой скорости и углового ускорения вращающегося тела. Производные от единичных векторов подвижных осей (формулы Пуассона). Теорема о сложен...
Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі
Теорема Піфагора - важливий інструмент геометричних обчислень, її простота, значення; історичні відомості. Теорема Піфагора на площині та у просторі,...
Разложение функций. Теория вероятностей
Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умнож...