Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі

Теорема Піфагора - важливий інструмент геометричних обчислень, її простота, значення; історичні відомості. Теорема Піфагора на площині та у просторі, її стереометричний аналог; цілочислові прямокутні трикутники. Доведення теореми, класифікація задач.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Зміст

Вступ

Розділ 1. Теорема Піфагора на площині

1.1 Різні доведення теореми Піфагора

1.2 Теорема Піфагора та цілочислові прямокутні трикутники

1.3 Історичні відомості

1.4 Розв'язування задач

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Розділ 2. Теорема Піфагора у просторі або стереометричний аналог теореми Піфагора

2.1 Теорема(стереометричний аналог теореми Піфагора)

Доведення 1

Доведення 2

Доведення 3

Доведення 4

Доведення 5

Доведення 6

Доведення 7

Доведення 8

Доведення 9

Висновок

Література



Вступ

Математик - це той , хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; кращий математик той, хто встановлює аналогії доведень; більш сильний математик той, хто помічає аналогії теорій; але можна уявити собі й такого, хто між аналогіями бачить аналогії. (Стефан Банах)

Аналогія є таким умовидом, при якому, встановивши схожість будови об'єктів у деяких властивостях, припускають , що вони, можливо, схожі і в інших властивостях.

Відомо, що в процесі розвитку науки висновки за аналогією відіграють велику роль. Аналогія, як важлива форма мислення завжди привертала до себе увагу і була предметом дослідження видатних вчених, мислителів. Чудові зразки міркувань за аналогією дали такі відомі природодослідники, як Леонардо да Вінчі, Й. Кеплер, Г. Галілей, М.В. Ломоносов, Ч. Дарвін, Д.І. Менделєєв, К. Максвелл, А. Ейнштейн та інші. За допомогою аналогії вони обґрунтували ряд найважливіших наукових відкриттів.

Серед цінностей інтелекту «вищого порядку», що являють собою найважливішу частину математичної освіти, одне з пріоритетних місць, ймовірно, займає вміння знаходити і застосовувати аналогії. Про цей метод поетично і захоплено говорив Стефан Банах: «Математик - це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; кращий математик той, хто встановлює аналогії доведень; більш сильний математик той, хто помічає аналогії теорій; але можна уявити собі й такого, хто між аналогіями бачить аналогії. »

Але більш багатогранно аналогія виявляється у творчій діяльності людини. Велике значення має аналогія для творчого мислення.

Аналогія застосовується в учнівському пізнанні

П.М. Єрднієв вважає, що володіння ум овидом за аналогією «сприяє як творчості вченого - математика, так і успішному навчанню цієї науки або самостійному вивченню її».

Роль аналогії значно зростає в сучасних умовах навчання, коли перед школою стоїть завдання озброювати учнів не лише знаннями, а й методами самостійного здобуття знань.

Звернемо увагу на основні дидактичні функції аналогії. По-перше, аналогія сприяє більш глибокому осмисленню матеріалу, що вивчається. При цьому застосовується ті види аналогії, які конкретизують образи і уявлення. По-друге, аналогія при вивченні нового матеріалу допомагає підводити учнів до визначення нових для них понять, самостійних пошуків способу розв'язання задачі, ефективної організації повторення, узагальнення і систематизації матеріалу.

Вбачаючи в аналогії великі дидактичні можливості, вчені радять користуватись нею і вчителю, і учням. Проте слід пам'ятати, що висновки в умовиводах за аналогією не дає відповіді на питання про правильність припущення, ця правильність повинна перевірятись іншими засобами. Та аналогія важлива вже тим,що вона наводить на здогади, подає думку про те чи інше припущення. Це дуже важливо як у розвитку науки, так і в вивченні математики.

Звідси випливає актуальність вибраної теми.

Об'єкт дослідження - теорема Піфагора на площині і в просторі;

Предмет дослідження - аналогія між теоремою Піфагора на площині і в просторі;

Мета дослідження - розглянути в чому полягає аналогія між теоремою Піфагора на площині і в просторі.

Для реалізації поставленої мети необхідно розв'язати наступні завдання:

- підібрати, опрацювати та систематизувати літературні джерела з обраної теми;

- підібрати, класифікувати та зібрати задачі про теорему Піфагора на площині і в просторі (на доведення та обчислення).

Курсова робота складається зі вступу, двох розділів,висновку,списку використаної літератури, що містить 3 найменування.

У вступі визначається об'єкт, предмет,мета та завдання дослідження, обґрунтовується актуальність обраної теми,описана структура курсової роботи.

В наступних розділах йде огляд і доведення аналогії між трикутником та тетраедром. У висновку підведено підсумок про виконану роботу.



Розділ 1. Теорема Піфагора на площині

Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжини катетів.

Дано: ДАВС, С = 90°, ВС = а, АС = b, АВ = с.

Довести: с² = а² + b²

1.1 Різні доведення теореми Піфагора

Доведення 1. На гіпотенузі і катетах побудуємо квадрати і виконаємо додаткові побудови, які видно на рисунку 1. Тоді NAB = 90° + САВ,

САЕ =90° + САВ. Отже, NАВ = САЕ. Крім цього, NА = СА, АВ = АЕ.

Таким чином, за першою ознакою рівності трикутників маємо: ДNAB = ДCAE. Але S_ДNAB = NA·NK = S_ДANRC, S_ДCAE = AE·EH = S_AEHR. Порівнюючи останні три рівності, дістанемо: S_ANKC = S_AEHR. ( 1 ) Аналогічно, ABE = 90° + ABC, CBD = 90° + ABC. Звідси ABF = CBD. Крім того, AB - DB, CB - FB. Тоді за першою ознакою рівності трикутників ДABF = ДDBC. Але SДABF = BF·QF = SBCQF, SДDBC = BD·HD = SHRBD. З цих рівностей одержимо: SBCQA = SHRBD. ( 2 ) Додамо почленно рівності (1) і (2):

SANKC + SBCQF = SAEHR + SHRBD, але SAEHR + SHRBD = SAEDB.

Таким чином, SANKC + SAEDB або b2 + a2 = c2

Рис. 1

Рис. 2

Доведення 2

Побудуємо ДBDE = ДACB так, щоб B CD ( рис 2).

Тоді чотирикутник ACDE - трапеція, бо AC || DE як два перпендикуляри до CD. Маємо:

S_ACDE = ·CD = ·² (1)

Крім того, S_ACDE = S_ДABE + 2S_ДABC. Трикутник ABE рівнобедрений і прямокутний. Дійсно, якщо позначимо АВС = BED = , тоді в прямокутному трикутнику BDE DBE = 90° - . За побудовою CBD = 90°.Таким чином, ABE = 180° - °, S_ДABC=, S_ДABC= .

Тоді S_ACDE= ( 2 )

Порівнюючи рівності ( 1 ) і ( 2 ), дістанемо:

Доведення 3. Побудуємо CD AB ( рис.3 ).

Нехай CAB = BCD = . Тоді S_ДABC = sin. Оскільки ,

S_ДABC = ( 1 )

Аналогічно: S_ДACD = ( 2 )

S_ДBCD = ( 3 )

За побудовою S_ДABC = S_ДACD + S_ДBCD. ( 4 )

З рівностей ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) випливає:

тобто

Рис.3 Рис.4

Доведення 4. Впишемо в трикутник АВС коло ( О, r ) ( Рис.4 ). Тоді:

S_ДABC = S_ДOAC + S_ДOAB =

Чотирикутник OKCL - квадрат з стороною r. За властивістю дотичних, проведених з точок А та В до кола, маємо: AH = AK = , BH = BL = .

Тоді

AB = AH + HB =

З іншого боку

S_ДABC = .

Таким чином,

Доведення 5

Виконуємо побудови, які показано на рисунку 5 а), 5 б).

Рис.5,а

Рис.5,б

CDMN, TQRE - квадрати зі стороною . Тоді S_CDMN = S_TQRE.

За побудовою маємо:

S_CDMN = S_ABLK + 4S_ДABC,

S_TQRE = S_PQBC + S_ACFE + 4S_ДABC.

Порівнюючи ці рівності, дістанемо:

S_ABLK + 4S_ДABC = S_PQBC + S_ACFE + 4S_ДABC , або

S_ABLK = S_PQBC + S_ACFE, тобто

Доведення 6

Побудуємо квадрат CDMN з стороною a+b ( Рис.6)

Рис. 6

Тоді ДАСВ = ДBDK = ДKLM = ДLNA ( за двома катетами ) , звідки

AB = BK = KL = LA = c.

Отже, чотирикутник ABKL - ромб.

Оскільки АВК = 90°, то ABKL - квадрат. Маємо:

...