Разновидности систем счисления данных, особенности позиционной системы. Порядок перехода между основными системами счисления и реализации целочисленных операций. Представление отрицательных чисел. Представление отрицательных чисел в двоичном коде.
Краткое сожержание материала:

Системы счисления и представления типов данных

Содержание

• 1. Позиционные системы счисления 3
• 2. Переходы между основными системами счисления 5
• 3. Основные 16_ичные константы 5
• 4. Реализация целочисленных операций 7
• 5. Представление отрицательных чисел 8
• 6. Целочисленные типы данных в языке Си 9
• 7. Вещественные типы данных в языке Си 10
• 8. Кодирование символов 12
• 9. Схемы алгоритмов 14

1. Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления (СС) - это системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в записи числа. Например:

1) шестидесятиричная (Древний Вавилон) - первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1 мин = 60 с, 1 ч = 60 мин);

2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. Число12 - «дюжина»: в сутках две дюжины часов. Счет не по пальцам. а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава - всего 12;

3) в настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Система счисления - способ записи (изображения) чисел. Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами. Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например: Алфавиты некоторых позиционных систем счисления. Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Двоичная система: {0, 1}

Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда. Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления.

Десятичная система: 10⁰, 10¹, 10², 10³, 10⁴,…, 10ⁿ,…

Двоичная система: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴,…, 2ⁿ,…

Восьмеричная система: 8⁰, 8¹, 8², 8³, 8⁴,…, 8ⁿ,…

Свернутой формой записи числа называется запись в виде

A=a_n-1a_n-2…a₁a₀.a_-1…a_-m

Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Пример. Десятичное число 4718,63, двоичное число 1001,1, восьмеричное число 7764,1, шестнадцатеричное число 3АF16

Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля. В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем десятичном виде:

А = ± (a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+ … +a₀q⁰+a_-1q^-1+a_-2q^-2+ … +a_-mq^-m)

Здесь А - само число, q - основание системы счисления, a_i - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n - число целых разрядов числа, m - число дробных разрядов числа. Развернутая форма записи числа - сумма произведений коэффициентов на степени основания системы счисления.

Пример. Десятичное число А₁₀ = 4718,63 в развернутой форме запишется так:

А₁₀ = 4·10³ + 7·10² + 1·10¹ + 8·10⁰ + 6·10^-1 + 3·10^-2

Двоичное число А₂ = 1001,1 = 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ + 1·2^-1

Восьмеричное число А₈ = 7764,1 = 7·8³ + 7·8² + 6·8¹ + 4·8⁰ + 1·8^-1

Шестнадцатеричное число А₁₆ = 3АF16 = 3·16² + 10·16¹ + 15·16⁰

2. Переходы между основными системами счисления

Основные СС имеют основания 2, 8,10, 16. Системы с основаниями 2, 8 и 16 являются родственными, так как их основания являются степенями двойки. Переходы между ними реализуются легко.

2 8. Двоичное число разбивается справа налево на триады (тройки цифр) и каждая триада заменяется на 8_ичную цифру.

2 16. Двоичное число разбивается справа налево на тетрады (четверки цифр) и каждая тетрада заменяется на 16_ичную цифру.

8 16 и 16 8. Преобразование идет через двоичную СС.

Любое основание 10. Осуществляется по определению позиционной системы счисления.

10 16. Имеется два способа преобразования.

1. Метод деления «уголком» строит результирующее 16_ичное число от младших цифр к старшим. Для этого запоминаются целые остатки от деления исходного числа на 16, пока частное не станет равным 0. Записывая эти остатки в обратном порядке, получим ответ.

2. Метод «вычерпывания» состоит из нескольких итераций. На каждой итерации исходное число х оценивается снизу максимальной степенью m нового основания p = 16: х ? 16^m. Затем определяем число r вхождений степени 16^m в число х. Наконец, 16_ичную цифру r записываем в результирующее число в разряд с номером m. Число x заменяем на меньшее число х - r · 16^m. Если новое число х = 0, то алгоритм заканчивается, и остальные разряды результата заполняем нулями. В противном случае, переходим к следующей итерации.

3. Основные 16_ичные константы

Большинство числовых констант, которые встречаются в компьютерной технике, являются круглыми шестнадцатеричными числами. Эти числа обычно записывают в десятично-буквенном виде, имеющем формат ab, где а - десятичное число, b - буква.

Таблица 1. Шестнадцатеричные константы

16_ичная константа	Десятично-буквенное значение	Примечания
0х10	24 = 16	Размер параграфа
0х100	28 = 256	Размер физического сектора
0х200	512	Размер кластера на дискете
0х400	210 = 1024 = К	Килобайт
0х1000	4 К
0х10000	64 К	Размер сегмента
0хА0000	640 К	Верхняя граница ОЗУ для размещения исполняемого кода в DOS
0х100000	220 = М	Мегабайт

Следующая таблица содержит популярные степени числа 2, а также их русские и английские названия.

Таблица 2. Степени числа 2

Показатель степени	Степень	Примечания
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
Другие файлы: Системы счисления Определение понятия и видов систем счисления - символического метода записи чисел, представления чисел с помощью письменных знаков. Двоичные, смешанны... Изучение систем счисления Возникновение понятия системы счисления. Запись чисел в позиционной системе счисления. Перевод чисел из десятичной системы в любую другую позиционную... Лаба по информатике Лабораторная работа 1СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮЦ е л ь р а б о т ы . Изучение систем счисления, испол... Лабораторная работа №1 по информатике Лабораторная работа 1СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮЦ е л ь р а б о т ы . Изучение систем счисления, испол... Системы счисления. Составление алгоритмов Характеристика методов представления заданных чисел в двоичной, шестнадцатеричной, восьмеричной системе счисления. Представление указанного числа в че...